高中数学 不等式证明(一)课件 苏教版必修5 课件VIP免费

不等式证明一一、复习：1．不等式的一个等价命题2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论二、作差法：（P13—14)1．求证：x2+3>3xbaba0baba0baba0证：∵(x2+3)3x=∴x2+3>3x043)23(3)23()23(32222xxx)()()()()(:mbbabmmbbmbamabbambma证明∵a,b,m都是正数，并且a0,ba>00)()(mbbabmbambma即证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵ab，∴(ab)2>0(∴a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b22.已知a,b,m都是正数，并且aa2b3+a3b21.设a,bR+，求证：abbababaabba2)(三、作商法证：作商：2222)()(baabbababababaabba当a=b时，1)(2baba当a>b>0时，1)(,02,12babababa当b>a>0时，1)(,02,102babababa∴（其余部分布置作业）2)(babaabba四、综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。一、定理：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“=”）二、定理：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）三、推广：定理：如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时取“=”）.推论：如果Rcba,,，那么33abccba（当且仅当cba时取“=”）例一、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证：∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理：b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc例二、a,b,cR,求证：(1).;(2).;(3).;9)111)((cbacba29)111)((accbbacba.23bacacbcba(2)∵两式相乘即得.3))()((23222accbbaaccbba3))()((13111accbbaaccbba证：(1)法一：,,两式相乘即得。法二：左边≥3+2+2+2=933abccba313111abccba)()()(3cbbccaacbaabccbabcbaacba29)111)((accbbacba29111acbcbabac23bacacbcba即(3)由上题：例二、a,b,cR,求证：(1).;(2).;(3).;9)111)((cbacba29)111)((accbbacba.23bacacbcba例三、a,b,cR，1求证：)(2222baba2求证：)(2222222cbaaccbba3若a+b=1,求证：22121ba证：1∵0)2(2222baba∴2|2|222bababa∴)(2222baba2同理：)(2222cbcb，)(2222acac三式相加：)(2222222cbaaccbba3由幂平均不等式：1222)1(2)21()21()2121(21bababa∴22121ba设a,b,cR，3若a+b=1,求证：22121ba