第2课时函数的定义域、值域和解析式1．常见函数的定义域(1)分式的分母不能为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数的角的终边不能在y轴上；(6)零次幂的底数不能为零．2．求函数值域的常用方法(1)配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其值域．此法关键在于正确化成完全平方式．(2)换元法：常用代数或三角代换法把所给函数代换成值域容易3．求函数解析式的常用方法(1)定义法(配凑法)：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x“代替两边的所有g(x)”即可；(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式即可；(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(4)解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x)．1．求函数定义域的步骤对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义．求函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．[变式训练]2.(1)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．解析：(1) f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cosx＝t，则cosx＝1－t. －1≤cosx≤1，∴0≤1－cosx≤2，∴0≤t≤2，∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，求值域的题，其步骤是：求定义域——化简函数式——观察函数式的结构特征——选择方法．常用的方法有直接观察法、配方法、不等式法、换元法、判别式法、单调性、数形结合、导数法等．这些方法不是孤立的，可综合运用，每一种方法都有局限性，但一定要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域．下面结合函数的结构特征介绍这几种方法．1．求函数的定义域(1)由函数的解析式能够求出定义域，求出的定义域应该用集合或区间表示．(2)求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．(3)在函数的三要素中，定义域是基本要素，当对应法则和定义域确定之后，其值域相应被确定，研究函数性质必须从定义域出发．特别要重视函数定义域在解决方程、不等式等问题和在研究函数最值、奇偶性、周期性、单调性等问题中所起的作用．2．求函数的值域(1)函数的值域是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则所确定，值域是函数值的集合．因此函数的值域要用集合或区间表示．(2)函数的最大(小)值就是函数值域中的最大(小)值，与此函数图象的最高(低)点对应，但并非每个函数都有最大(小)值．求函数的最大值和最小值是函数中的一个重要问题．特别在解决实际问题时经常遇到．(3)由于函数的值域受定义域的制约，因此不论采用什么方法求函数的值域，均应优先考虑定义域．由于最值是特殊的函数值，高考中求最值问题比求值域最为重要．3．求函数解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、代入法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的“”表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围．通过对近三年高考试题的统计分析，有以下命题规律：1．考查热点：求函数的值域和定义域．2．考查形式：主要题型是选择题、填空题，整个命题过程紧扣课本，突出重点，以低档题为主．3．考查角度：一是求函数的值域，主要考查基本函数的值域，要利用函数的性质．二是求函数值和函数的定义域．函数求值主要是对分段函数和抽象函数求值，求函数定义域主要考查给出函数的解析式，然后确定函数的定义域；三...
