10.2.2复数的乘法与除法第十章复数学习目标1.能进行复数代数形式的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.重点：复数代数形式的乘法和除法运算法则.难点：复数除法的运算法则.知识梳理一、复数的乘法1.复数的乘法法则一般地，设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac+adi+bci+bdi2＝（ac-bd）+（ad+bc）i.【名师点拨】为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝-1即可.对复数乘法的几点说明：（1）类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿照多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成-1）.（2）两个复数的积是一个确定的复数.（3）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.（4）可以把两个复数的乘法运算扩充到多个复数的连乘积的形式，按从左到右的顺序依次进行.2.复数乘法满足的运算律复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2＝z2z1，（z1z2）z3＝z1（z2z3），z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.复数乘法运算律的证明：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i.（1） z1z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i，z2z1＝（a2+b2i）（a1+b1i）＝（a2a1-b2b1）+（b2a1+a2b1）i，又a1a2-b1b2＝a2a1-b2b1，b1a2+a1b2＝b2a1+a2b1，∴z1z2＝z2z1.（2） （z1z2）z3＝［（a1+b1i）（a2+b2i）］（a3+b3i）＝［（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i］（a3+b3i）＝［（a1a2-b1b2）a3-（b1a2+a1b2）b3］+［（b1a2+a1b2）a3+（a1a2-b1b2）b3］i＝（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i，同理可证，z1（z2z3）＝（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i，∴（z1z2）z3＝z1（z2z3）.（3） z1（z2+z3）＝（a1+b1i）［（a2+b2i）+（a3+b3i）］＝（a1+b1i）［（a2+a3）+（b2+b3）i］＝［a1（a2+a3）-b1（b2+b3）］+［b1（a2+a3）+a1（b2+b3）］i＝（a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i，z1z2+z1z3＝（a1+b1i）（a2+b2i）+（a1+b1i）（a3+b3i）＝（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i+（a1a3-b1b3）+（b1a3+a1b3）i＝（a1a2-b1b2+a1a3-b1b3）+（b1a2+a1b2+b1a3+a1b3）i＝（a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i，∴z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.【思考】如果z1与z2互为共轭复数，那么z1+z2，z1-z2，z1·z2分别是怎样的数？提示：令z1＝a+bi，则z2＝a-bi（a，b∈R），∴z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R.z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi，当b≠0时，z1-z2为纯虚数；当b＝0时，z1-z2＝0.z1·z2＝（a+bi）（a-bi）＝a2+b2∈R.【结论】z∈C，z＝|z|2＝||2.3.共轭复数的积4.复数的乘方n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即nnzzzz个可以验证，当m，n均为正整数时，zmzn＝zm+n，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝zn1zn2.以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即（z1+z2）2＝z21+2z1z2+z22，z21-z22＝（z1+z2）（z1-z2）.【思考】i的幂有何特点？i的幂具有周期性：①如果n∈N*，那么i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝-1，i4n+3＝-i，从而i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3＝0.②若规定i0＝1，（m∈N*），则i的幂的周期性可推广到整数，即m∈Z时上式都成立.③利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题.二、复数的除法1.复数除法的定义如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝（或z＝z1÷z2），而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数.利用复数除法的定义可以证明，当w为非零复数时，有＝，＝+.2.复数的除法法则【尝试与发现】设实数a，b满足（a+bi）（1+2i）＝1，利用方程组求a，b的值，并思考是否有其他方法可以求出.上述尝试与发现的式子可以改写为a+bi＝，为了求出a，b的值，我们将上述等式右边看成一个分式.这样一来，就只要想办法把1+2i变成一个实数即可.注意到（1+2i）（1-2i）＝12-...
