第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母d表示.2．等差数列的通项公式：_______________.公差an＝a1＋(n－1)d知新益能1．等差中项(1)若a，b，c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，且b＝______；(2)a，b，c成等差数列是2b＝a＋c的_____条件；(3)用递推关系an＋1＝12(an＋an＋2)给出的数列也是等差数列，an＋1称为_________的等差中项．a＋c2an，an＋2充要思考感悟1．两个数a，b的等差中项唯一吗？提示：唯一．2．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则am＋an＝_______.(2)下标成等差数列的项(ak，ak＋m，ak＋2m，…)仍组成_________．(3)数列{λan＋b}，(λ，b为常数)仍为_________.(4){an}和{bn}均为_________，则{an±bn}也是等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为_____数列；d<0⇔{an}为_____数列；d＝0⇔{an}为___数列.ap＋aq等差数列等差数列等差数列递增递减常(6)设{an}是公差为d的等差数列，那么an＝am＋________或d＝_______(m，n∈N＋)．本性质是通项公式的推广，通常适用于“已知等差数列某一项(或某几项)，求数列中另一项”这类题目．应用性质应注意，n与m的大小关系是不确定的，当n≤m时，性质仍然成立．(7)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于_____________．an－amn－m(n－m)d首末两项的和思考感悟2．若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？提示：不一定．例如在等差数列an＝2中，m，n，p，q可以取任意正整数，不一定有m＋n＝p＋q.3．等差数列的设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)．(2)对称设法：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….课堂互动讲练等差数列性质的应用考点突破例例11【分析】解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.【解】法一：根据题意设此数列首项为a1，公差为d，则：a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36，∴4a1＋22d＝36,2a1＋11d＝18，∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18.法二：由等差数列性质得：a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.【点评】法一设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．法二运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p,q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.自我挑战1已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：法一：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.法二：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为－8，求这四个数．【分析】由题目可获取以下主要信息：①根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；巧设等差数列例例22②四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24.化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2...
