第9节函数模型及其应用基础梳理考点突破知识整合1.函数模型及其性质的比较(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=kx(k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a、b、c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a、b、c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠0)基础梳理抓主干固双基(2)三种函数模型性质比较y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.解答函数应用题的一般步骤(1)审题弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型.(2)建模将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.(3)求模求解函数模型,得出数学结论.(4)还原将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:双基自测1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是(A)(A)v=1100·ex(B)v=100lnx(C)v=x100(D)v=100×2x解析:只有v=1100·ex和v=100×2x是指数函数,并且e>2,所以v=1100·ex的增大速度快,选A.2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B)(A)y=2x-2(B)y=12(x2-1)(C)y=log3x(D)y=2x-2解析:将各点代入到各选项函数中,比较发现函数y=12(x2-1)最接近.故选B.3.(2013泉州模拟)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为(D)(A)200副(B)400副(C)600副(D)800副解析:设日产手套至少x副,依题意,10x≥5x+4000,解得x≥800,故选D.4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻t(单位:分钟)与细胞数n(单位:个)的部分数据如下:t02060140n128128根据表中数据,推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于分钟.解析:由表格中所给数据可知,n与t的函数关系式为n=202t,令n=1000,得202t=1000,又29=512,210=1024,所以20t最接近于10,即时刻t最接近200分钟.答案:200考点突破剖典例知规律考点一一次函数、二次函数模型【例1】(2013广州高三调研)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?思维导引:(1)平均处理成本即yx,yx最低,即求yx的最小值;(2)若要获利,需利润(100x-y)为正值,否则不能获利.解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为yx=12x+80000x-200≥21800002xx-200=200,当且仅当12x=80000x,即x=400时,上式取等号,即当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低处理成本为200元.(2)设该单位每月获利为S,则S=100x-y=100x-21200800002xx=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-35000,因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.即时突破1为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示.则通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式分别为,.解析:依题意设y1=k1x+b,y2=k2x,将点A(0,29),B(30,35)代入y1=k1x+b得b=29,k1=15,∴y1=15x+29.将点C(30,15)代入y2=k2x得k2=12,∴y2=12x.答案:y1=15x+29y2=12x考点二函数y=x+ax(a>0)的模型【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物...
