2.3.3直线与平面垂直的性质问题提出1.直线与平面垂直的定义是什么?如何判定直线与平面垂直?2.直线与平面垂直的判定定理,解决了直线与平面垂直的条件问题;反之,在直线与平面垂直的条件下,能得到哪些结论?知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?AA1BCDB1C1D1思考2:如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系如何?ablablabl思考3:一个平面的垂线有多少条?这些直线彼此之间具有什么位置关系?思考4:如果直线a,b都垂直于平面α,由观察可知a//b,从理论上如何证明这个结论?cOabα证明:假设b不平行于a,,bOcOa是经过点与直线平行的直线//,,aca因为c所以Obc即经过同一点的两条直线,都垂直于平面,这是不可能的ba//因此baba//求证:,已知:反证法baOc作用:证线线平行思考5:根据上述分析,得到一个什么结论?定理垂直于同一个平面的两条直线平行思考6:上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理.用符号语言可表述为:.该定理有什么作用?,//abab1、直线和平面垂直的定义:如果直线和平面内的所有直线都垂直,则就说这条直线和这个平面垂直。2、直线和平面垂直的判定:如果直线和平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。3、直线和平面垂直的性质:(1)垂直于同一平面的两条直线互相平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。(3)如果直线和平面垂直,则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。4、唯一性定理:(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。小结理论迁移例1如图,已知于点A,于点B,求证:.,,lCACB,,aaAB//alABCαβla例2、已知直角△ABC所在平面外有一点P,且PA=PB=PC,D是斜边AB的中点,求证:PD⊥平面ABC.ABCPD证明:PA=PB,D为AB中点∴PDAB⊥,连接CD,∵D为RtABC△斜边的中点∴CD=AD,又PA=PC,PD=PD∴△PADPCD≌△而PDAB⊥∴PDCD,CD∩AB=D⊥∴PD⊥平面ABC例3、如图平面α、β相交于PQ,线段OA、OB分别垂直平面α、β,求证:PQAB⊥PQOAB证明:∵OAαPQα⊥∴OAPQ⊥OBβ,PQβ⊥∴OBPQ⊥又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB而AB平面OAB∴PQAB⊥例4、正方体AC1的棱长为a(1)求证:BD⊥平面ACC1A1(2)设P为D1D中点,求P到平面ACC1A1的距离.ABCDC1B1A1D1P证明:(1)AA1ABAA⊥1ADAB∩AD=A⊥∴AA1⊥平面ABCD又BD平面ABCDAA∴1BD⊥又ACBDAA⊥1∩AC=ABD⊥平面ACC1A1(2)DD1AA∥1DD1∥平面AA1CC1,AA1平面AA1CC1∴DD1∥平面AA1CC1∴P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离,也就是D到平面ACC1A1的距离,设AC∩BD=O,则即为DO的长度,∴P到平面ACC1A1的距离为22a作业:P71练习:1,2.(做书上)