题型一等价转化思想问题当一个命题的真假不易判断或证明较困难时，怎么办？并说明理由.答案可以转化为它的逆否命题来判断或证明.互为逆否的两个命题同真假.例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：∠A≠30°，q：sinA≠12；(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.分析所给命题均含不等关系，判断起来与习惯不符，因此考虑先进行命题的等价转化，将不等关系化为相等关系再进行判断.解(1)在△ABC中，綈q：sinA＝12，綈p：∠A＝30°. 在△ABC中，sinA＝12，则∠A＝30°或∠A＝150°，∴綈q⇒綈p，而綈p⇒綈q，∴綈q是綈p的必要不充分条件，从而，p是q的必要不充分条件.(2)綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. 綈q⇒綈p，而綈p⇒綈q，∴綈q是綈p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件.小结对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判断，往往利用“原命题与逆否命题是等价命题”进行转化.跟踪训练1判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.解(1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假.(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，故原命题为假.例2已知p：2x2－9x＋a<0，q：x2－4x＋3<0，x2－6x＋8<0，且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.解由x2－4x＋3<0，x2－6x＋8<0，得1
0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.解方法一由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}. 綈p是綈q的必要而不充分条件.∴AB，∴m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或m>0，1－m≤－2，1＋m>10，即m≥9或m>9.∴m≥9.方法二 綈p是綈q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}.` p是q的充分而不必要条件，∴PQ，∴m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或m>0，1－m≤－2，1＋m>10，`即m≥9或m>9.∴m≥9.`题型二分类讨论思想例3已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数.若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围.解p真：Δ＝a2－4×4≥0，∴a≤－4或a≥4.q真：－a4≤3，∴a≥－12.由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假.当p真q假时，a<－12；当p假q真时，－4
