专题四立体几何与空间量/////1///aabaaababb空间平行关系②①．//,////////,//,////,,,//,//,ababAaabambnabmnaaababAmnBb③④⑤⑥2,abacaaabbcbbcO空间②垂．①直关系,,,alaaaalalbcaabbcOalabacb③④⑤⑥【例1】若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//βC．若α⊥γ，α⊥β，则β//γD．若m⊥β，m//α，则α⊥β本题主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系，可以依据具体的模型(如正方体)，对命题的真假作出判断．结合具体的模型，或画出几何图形，容易判断A、B、C是假命题，故选D.D解决此类问题一般用排除法，借助具体的几何模型，并且让模型中的直线和平面“动一动、移一移”举出反例，从而得出正确的结论．【变式训练】(2010·山东卷)在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行D由空间直线与平面的位置关系及线面垂直、平行的判定与性质定理可知D正确．【例2】(2010·北京卷)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC，AB=，CE=EF=1.(1)求证：AF//平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明线面平行(垂直)需转化为证明线线平行(线线垂直)．2(1)设AC与BD相交于点G.因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE.121．证明线面平行的常用方法：(1)由线线平行证明线面平行；(2)由面面平行证明线面平行．2．证明面面垂直的常用方法：(1)由线面垂直证明面面垂直；(2)证明所成二面角为直角．【变式训练】如图所示，在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE∥平面BFD；(2)AE⊥平面BCE.(1)由题意可得，G是AC的中点，连结FG.因为BF⊥平面ACE，则CE⊥BF.又BC=BE，所以F是EC的中点．在△AEC中，FG∥AE.又FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，所以AE∥平面BFD.(2)因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又因为BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE.【例3】(2010·福建卷)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1、CC1相交，交点分别为F、G.(1)证明：AD∥平面EFGH；(2)设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P.当点E、F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求P的最小值．(1)证线面平行转化为证直线与平面内的一直线平行；(2)求概率的最小值可转化为体积之比，然后应用基本不等式求解(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1.又因为EH∥A1D1，所以AD∥EH.因为AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH.(2)设BC=b，则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b.几何体EB1F-HC1G的体积V1=(1/2EB1·B1F)·B1C1=b/2EB1·B1F.222112221111112211211.22227411.428278,2.EBBFaEBBFaEBBFEBBFaabVabVPVabEBBFaP因为，所以当且仅当时等号成立．从而，，故当且仅当时等号成立所以，的最小值等于(1)证线面平行的常用方法：①线面平行判定定理；②面面平行的定义．(2)求最值问题先列出等式，应用不等式或函数的单调性解决．【变式训练】如图...
