第六章不等式、推理与证明第40讲含参变量不等式问题【学习目标】了解参变量的含义，会解含参变量的简单不等式，会探究含参变量的不等式在某范围内恒成立等简单问题，从而培养分类与整合的数学思想．【基础检测】1．已知0＜a＜1，loga(1－x)01－x>01－x>x解得04x＋a－3恒成立的x的取值范围是_____________________．【解析】原不等式等价为x2＋ax－4x－a＋3>0，即x2＋ax－4x－a＋3>0，所以a(x－1)＋x2－4x＋3>0，令f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3，则函数f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3表示直线，所以要使f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x2－4x＋3>0且x2－1>0，解得x>3或x<－1，即不等式恒成立的x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．,13,U4．已知函数f(x)＝x2－|x|，若f(－m2－1)1且f(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以m2＋1<2，解得－10，2x2＋（5＋2k）x＋5k<0得x>2或x<－1（x＋k）（2x＋5）<0，要使解集中只有一个整数解－2，则由(x＋k)(2x＋5)<0可知，不等式(x＋k)(2x＋5)<0的解为－520，2x2＋（5＋2k）x＋5k<0的解集中整数解只有－2，则k的取值范围是______________．(2)已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2，3≤lgxy≤4，求lg(x4y2)的取值范围．【解析】设a＝lgx，b＝lgy，则lg(xy)＝a＋b，lgxy＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴m＋n＝4，m－n＝2.解得m＝3，n＝1.又 3≤3(a＋b)≤6，3≤a－b≤4.∴6≤4a＋2b≤10.即lg(x4y2)的取值范围为[6，10]．例2已知集合A＝{x|x2－(3a＋3)x＋2(3a＋1)＜0，x∈R}，集合B＝xx－ax－a2＋1＜0，x∈R.(1)当4∉B时，求实数a的取值范围；(2)求使B⊆A的实数a的取值范围．【解析】(1)若4∈B，则4－a5－a2＜0⇔a＜－5或5＜a＜4.∴当4∉B时，实数a的取值范围为[－5，5]∪[4，＋∞)．(2) A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，B＝{x|a＜x＜a2＋1}．①当a＜13时，A＝(3a＋1，2)，要使B⊆A，必须a≥3a＋1，a2＋1≤2，此时－1≤a≤－12，②当a＝13时，A＝∅，使B⊆A的a不存在．③当a＞13时，A＝(2，3a＋1)，要使B⊆A，必须a≥2，a2＋1≤3a＋1，此时2≤a≤3.综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围是[2，3]∪－1，－12.【点评】解含参数的一元二次不等式时，常需分类讨论，分类讨论的出发点有：①二次项系数；②判别式；③两根的大小．二、含参变量的不等式恒成立问题例3(1)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是_____________．【解析】由...
