高考数学总复习 6-5数列的综合应用课件 北师大版 课件VIP专享VIP免费

第五节数列的综合应用考纲解读能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．考向预测1．以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式．2．等差、等比交汇，考查数列的基本计算．3．数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用．4．以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想．知识梳理1．数列在实际生活中着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型：(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．(4)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝r1＋rn1＋rn－1a.3．数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来；另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部分也有广泛的应用．4．数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求.基础自测1.一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于()A．0B.π12C.π6D.π4[答案]A[解析]因A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则B＝π3，b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，可推得a＝c＝b.∴A＝B＝C，即公差为0.2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N＋)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案]A[解析]f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.3．(教材改编题)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是()A．3B．4C．5或9D．4或9[答案]B[解析]设边数为n，则60°n＋nn－12·20°＝(n－2)·180°，解得n＝4或9.当n＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去．4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟[答案]B[解析]设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.故选B.5．(2012·安徽合肥模拟)秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________．[答案]255[解析]由于an＋2－an＝1＋(－1)n，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.6．一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第5次着地时共经过的米数是________．[答案]238a[解析]小球第一次着地经过的米数a1＝a，跳起后再次着地又经过的米数为a2＝2×12a＝a，再次着地又经过的米数为2×14a＝12a，…，依次构成数列{an}，则S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a＋a＋12a＋14a＋18a＝a＋a×1×1－1241－12＝3a－18a＝238a.7．(2012·苏州联考)已知数列{f(n)}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n.(1)求数列{f(n)}的通项公式；(2)若a1＝f(1)，an＋1＝f(an)(n∈N＋)，求证：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的前n项和Tn.[解析](1)n≥2时，f(n)＝Sn－Sn－1＝2n＋1.n＝1时，f(1)＝S1＝3，适合上式，∴f(n)＝2n＋1(n∈N＋)．(2)a1＝f(1)＝3，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．即an＋1＋1＝2(an＋1)．∴数列{an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋1＝4·2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－1(n∈N＋)．Tn＝(22＋...