第6课时函数与方程考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考第6课时1．函数的零点(1)函数零点的定义如果函数y＝f(x)在实数a处的值__________，即________，则a叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(a,0)点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根函数⇔y＝f(x)的图象与____有交点函数⇔y＝f(x)有_______.等于零x轴零点双基研习•面对高考基础梳理基础梳理f(a)＝0思考感悟1．是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间_________内有零点，即存在c(∈a，b)，使得_______，这个__也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c思考感悟2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_______，______(x1,0)或(x2,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)(x2,0)3．用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证_____________；第二步：求区间[a，b]的中点x1；第三步：计算f(x1)和f(a)，并判断：①若_________，则x1就是函数的零点；②若__________，则令b＝x1(此时零点x0∈[a，x1])；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈[x1，b])；第四步：判断是否达到精确度，否则重复第二、三、四步．f(a)f(b)<0f(x1)＝0f(a)f(x1)<0f(a)f(x1)>01．(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①②B．①③C．①④D．③④答案：B课前热身课前热身2．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是()A．0B．1C．0和1D．(0,0)和(1,0)答案：C3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为()A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定答案：A4．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝________.答案：105．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案：a＞1考点探究•挑战高考考点突破考点突破函数零点的求解与判断判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．【思路分析】借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．例例11【解】 f(－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f(1)＝4＋1－23＝133>0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2(x－12)2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．解： f′(x)＝4＋2x－2x2，令f′(x)＝0，∴x＝2，－1.∴x＝2是f(x)的极大值点．x＝－1是f(x)的极小值点，又f(2)＝203＞0，f(－1)＝－73＜0，∴f(x)有三个零点．互动探究1若例1中x的范围改为R，试回答原来问题．二分法求方程的近似解用二分法求函数零点近似值的步骤，可借助于计算器一步步地求解，也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间，而运算终止的条件是区间长度小于精确度ε.用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1)．【思路分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步...
