PQoxyy=f(x)割线切线l如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.yOxPQ●P为已知曲线C上的一点，如如何求出点何求出点PP处的切线方程？处的切线方程？●切线定义定义随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．yy·OOPP2244Q），（），，（分析：设)x(f,xQ42PQQ2x2x4x2x4)x(fkPQQQ2QQQPQ的斜率为则割线;PPQPQ斜率从而割线斜率逼近切线处的切线，逼近点割线时，沿曲线逼近点当;4k2xPQPQQ无限趋近于常数时，无限趋近于即点横坐标时，点横坐标无限趋近于当.442x)x(f2切线斜率为）处的，在点（从而曲线xx.442xf(x)4k0x2PQ）处的切线斜率为，在点（从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当的斜率则割线设解PQ),)x2(,x2(Q),4,2(P：2试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．x4xxx4x4)x2(k22PQ），（），，（解：设2QQx,xQ42P2x2x4xkPQQQ2QPQ的斜率为则割线.442xf(x)4k2x2PQQ斜率为）处的切线，在点（从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当x,2xQ令练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．2xxQ则.211xf(x)2k0x2PQ处的切线斜率为在点从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当x的斜率则割线设由题意解PQ),1)x1(,x1(Q),2,1(P2，：练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．当△△xx无限趋近于无限趋近于00时，时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率x2xxx2x2]1)x1[(k22PQ找到定点找到定点PP的坐标的坐标设出动点设出动点QQ的坐的坐标标求出割求出割线斜率线斜率yxOy=f(x)xx0x0+xPQf(x0+x)f(x0)切线割线PP（（xx00,f(x,f(x00))))Q(xQ(x00++△△x,f(xx,f(x00++△△x))x))△△x>0x>0时时,,点点QQ位于点位于点PP的的右侧右侧y=f(x)y=f(x)△△x<0x<0时时,,点点QQ位于点位于点PP的的左侧左侧2.求出割线PQ的斜率,并化简.x)(x)xx(k00PQff求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤:3.令Δx趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))MM（即y)小结小结11、曲线上一点、曲线上一点PP处的切线是过点处的切线是过点PP的所有直线中的所有直线中最接近最接近PP点附近曲线的直线，则点附近曲线的直线，则PP点处的变化趋势可点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。以由该点处的切线反映。((局部以直代曲局部以直代曲))●22、根据定义、根据定义,,利用割线逼近切线的方法利用割线逼近切线的方法,,可以求可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。出曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP,xQ](或[xQ,xP]）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)
