专题七数学思想方法第22讲分类与整合和化归与转化思想化归与转化思想的内涵最为概括，理论上讲任何解题活动都可以看作化归与转化，在高考试题上重点围绕三点展开．第一点是在选择题、填空题中设计部分需要有针对性进行转化才能解决的试题，目的是考查基本的化归转化思想；第二个是在立体几何中设计空间线面位置关系的证明，通过建立空间直角坐标系把几何问题转化为代数计算等问题，目的从深层次上考查化归与转化思想；第三个点是在解析几何试题中设计一些几何条件，解题中要把几何条件转化为代数条件，目的也是从深层次上考查化归与转化思想．复习建议：数学思想方法贯穿数学学习的始终，单纯依靠一个讲次不可能解决问题，设置本讲的目的是给学生一个整体上的认识，即认识这些数学思想方法的含义，它可以解决哪些方面的问题，这些思想方法对解题有什么好处，因此本讲的重点是强化使用数学思想方法指导解题的思想意识．►探究点一分类与整合思想的应用例1[2012·陕西卷]两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种[思考流程](分析)比赛终止的可能局数为3,4,5⇨(推理)按照这三个发展方向分别求解⇨(结论)整合三种情况得出结论．[解析]最少要比赛三场、最多比赛五场．比赛三场结束有2种情况(甲胜三场或者乙胜三场)；比赛四场，如果是甲胜，则甲在前面三场胜两场，第四场再胜，此时有情况C23种，乙胜的情况同甲，此时有2C23＝6种情况；如果是比赛五场结束，同理有2C24＝12种情况．根据分类加法计数原理，共有情况2＋6＋12＝20种．[答案]C[点评]凡两方比赛问题，都要考虑两个都有取胜的可能，不要误以为只有实力较强的一方获胜．分类与整合思想在排列组合、函数与导数、概率等问题中应用非常普遍，在分别解决问题后要注意综合各种情况整合出整体结论．变式题(1)设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为2π3B．周期函数，最小正周期为π3C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数(2)已知函数f(x)＝x＋1x，x≠0，0，x＝0，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数解的充要条件是()A．b<－2且c>0B．b>－2且c<0C．b<－2且c＝0D．b≥－2且c＝0[解析](1)f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝2sin3x，sin3x≥0，0，sin3x<0，最小正周期为23π；(2)对比选择项不难发现可以从c＝0，c≠0两种情形来考虑．若c＝0，则x＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0其中的一个根，x≠0时，且f(x)[f(x)＋b]＝0，此时f(x)≠0，所以f(x)＋b＝0，因此当－b>2时，f(x)＋b＝0有四个根，满足题意，所以b<－2.综上可选C.[答案](1)A(2)C例2已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－lnx)，a>0，讨论f(x)的单调性．[思考流程](条件)函数解析式⇨(目标)整合各种情况得出结论⇨(方法)讨论导数的符号，求出导数后，根据字母a的取值范围确定问题的解决方向．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＝a2－8<0，即0
0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＝a2－8＝0，即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．③当Δ＝a2－8>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0
