题型一分类讨论思想在导数中的应用例1设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1
(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值．分析根据求单调区间及极值的步骤求解．解(1)由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1
当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a>1时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)，(a－1，＋∞)上单调递增，在(0，a－1)上单调递减．(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3
小结分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．通过分类讨论，可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题，从而使问题变得条理清晰，层次分明，易于解决．分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分类给出的题型中．例如，单调性的判断、求极值、求最大(小)值等问题往往要用到分类讨论．跟踪训练1设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1
解(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)． f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，即x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：f′(x)＝－3x2
