第5讲空间向量及其运算知识梳理1．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得.b＝λa推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.OA→＋tAB→(2)共面向量定理的向量表达式：p＝，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝.xa＋ybOM→＋xMA→＋yMB→xe1＋ye2＋ze32．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作，其范围是，若〈a，b〉＝π2，则称a与b，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b则叫做向量a，b的数量积，记作．〈a，b〉互相垂直0≤〈a，b〉≤π|a||b|cos〈a，b〉a·b即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝；②交换律：a·b＝；③分配律：a·(b＋c)＝.λ(a·b)b·aa·b＋a·c3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b共线a＝λb(b≠0)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23辨析感悟1．空间向量的线性运算(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(2)(教材习题改编)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(×)(3)若a，b共线，则a与b所在直线平行．(×)(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(×)2．共线、共面与垂直(5)对于空间非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.(√)(6)(教材习题改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为1或－3.(√)(7)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于657.(√)3．空间向量的数量积(8)在向量的数量积运算中满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(9)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为－13.(√)(10)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为－2515.(√)[感悟·提升]1．一种思想理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比，如(5)．2．两种方法一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)．二是强化坐标运算，如(6)、(7)、(9)、(10).考点一空间向量的线性运算【例1】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________________．解析 OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋23ON→－23OM→＝12OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23×12OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→，又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，根据空间向量的基本定理，x＝16，y＝z＝13.答案16，13，13规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示CN→，MC→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．【训练1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，试用AB→，AD→，AA1→表示EO→.解EO→＝ED→＋DO→＝23D1D→＋12DB→＝23D1D→＋12(DA→＋AB→)...
