§2.1映射、函数及反函数考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.1映射、函数及反函数双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．映射(1)定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的_____，记作f：A→B.基础梳理唯一映射(2)象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____．2．函数(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函数的______，函数值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函数的_____．象原象任意唯一定义域值域(2)函数的三要素______、_____和对应法则．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：______、解析法、______．定义域值域列表法图象法3．反函数的定义设式子y＝f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函数，这样的函数，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般对调x＝f－1(y)中的字母x，y把它改写成________．x＝φ(y)y＝f－1(x)4．反函数四个引申性质原函数反函数原象与象的唯一互对性f(a)＝b⇔_________f－1(b)＝a原函数反函数定义域与值域的互换性f(x)的定义域为A，值域为Cf－1(x)的定义域为__，值域为__图象的对称性y＝f(x)的图象←――→关于直线y＝x对称y＝f－1(x)的图象反函数的单调性f(x)是单调函数f－1(x)是____函数且与f(x)单调性____CA单调相同思考感悟1．映射f：A→B与映射f：B→A是同一个映射吗？提示：不一定．映射f：A→B必须满足：(1)A中元素无剩余，且A中任何元素必须有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则可构成映射f：A→B有nm个，映射f：B→A有mn个．2．映射与函数有什么区别？提示：映射不一定是函数，但函数一定是某一个映射；映射的两个集合可以是任意非空集合，函数的集合一定是非空数集．1．在映射f：A→B中，下列判断正确的是()A．A中的元素a的象可能不只一个B．A中的两个元素a1和a2的象必不同C．B中的元素b的原象可能不只一个D．B中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同答案：C课前热身课前热身2．下列四组中的函数f(x)，g(x)表示同一个函数的是()A．f(x)＝x0，g(x)＝x′B．f(x)＝5x5，g(x)＝x2C．f(x)＝x，g(x)＝x2xD．f(x)＝ex，g(x)＝f′(x)答案：D3．若函数f(x)满足f(x)＝x，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2(x∈R)B．f(x)＝x(x≥0)C．f(x)＝x(x≥0)D．f(x)＝x2(x≥0)答案：D4．函数y＝x2－1(x<－1)的反函数为__________．答案：y＝－x2＋1(x>0)5．点(x，y)在映射f作用下的象是(2x，log2y)，则在f作用下，点(1,1)的原象是________．答案：(0,2)考点探究·挑战高考映射的概念映射是一种特殊的对应，判断对应是否为映射，关键有两点：一是A中元素必须都有象且唯一，二是B中元素不一定有原象，且A中不同的元素在B中可以有相同的象．一般地，“一对一”“多对一”的对应关系可构成映射，“一对多”不是映射．设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法则f能构成从A到B的映射的是()A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→2x－1－1D．f：x→2x－1【思路分析】根据映射定义，对于集合A中的任何元素，按照对应法则f，在集合B中是否有唯一的元素与它对应．例例11【解析】 当x＝4时，x2＋x＋1＝21∉B；当x＝4时，x＋(x－1)2＝13∉B；当x＝1时，2x－1－1＝20－1＝0∉B，∴A、B、C都不构成从A到B的映射．对于D，经验证，x＝1,2,3,4,5时2x－1的值分别为1,3,7,15,31.又映射并不要求B中的任何元素都有原象，∴应选D.【领悟归纳】判断从A到B的映射，务必用A中...
