4.3指数函数与对数函数的关系第四章指数函数、对数函数与幂函数学习目标1.了解y＝ax与y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数及图像间的关系；2.会判断一个函数是否存在反函数以及会求一个函数的反函数；3.明确互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称.重点：指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线y＝x对称.难点：判断一个函数是否存在反函数以及求一个函数的反函数.知识梳理一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数.一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f-1（x）.一、反函数定义二、反函数的性质y＝f（x）的定义域与y＝f-1（x）的值域相同，y＝f（x）的值域与y＝f-1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图像关于直线对称.如果y＝f（x）是单调函数，那么它的反函数y＝f-1（x）一定存在.此时，如果y＝f（x）是增函数，则y＝f-1（x）也是增函数；如果y＝f（x）是减函数，则y＝f-1（x）也是减函数.y＝x例1一反函数的定义应用常考题型［2019·上海松江区高三模拟］函数f（x）＝x2-2ax-3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是（）A.a∈（-∞，1］B.a∈［2，+∞）C.a∈（-∞，1］∪［2，+∞）D.a∈［1，2］【解析】因为二次函数f（x）＝x2-2ax-3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间（-∞，a］或［a，+∞）上是单调函数，而已知函数f（x）在区间［1，2］上存在反函数，所以［1，2］（-∞，a］或［1，2］［a，+∞），即a≤1或a≥2.故选C.【答案】C【解题提示】根据反函数的定义，函数y＝f（x）存在反函数时，x与y必须是一一对应关系，二次函数f（x）＝x2-2ax-3图像的对称轴为直线x＝a，在其两侧x，y具备一一对应条件，即分别为单调函数，存在反函数.解题归纳［2019·山东日照高一检测］给出下列命题：①函数f（x）＝x2存在反函数；②函数f（x）＝kx+b（k≠0）一定存在反函数；③若函数y＝f（x）存在反函数，则y＝f（x）一定是单调函数；④若函数y＝f（x）是单调函数，则y＝f（x）一定存在反函数.其中正确命题的序号有.变式训练②④二求反函数例2求函数y＝的反函数.【解题提示】要求y＝的反函数，需从y＝中求出x，注意原函数的值域即其反函数的定义域.【解】由y＝，得2x（y-1）＝y+1. y＝＝1+，∴y≠1，∴2x＝.① 2x>0，∴>0，解得y>1或y<-1.∴其反函数的定义域是{x|x>1或x<-1}.由①式，得x＝log2，∴所求的反函数为y＝log2（x<-1或x>1）.解题归纳求函数y＝f（x）的反函数的步骤①对调y＝f（x）中的x与y；②从x＝f（y）中求出y，即得函数y＝f（x）的反函数的表达式y＝f-1（x）；③求出反函数的定义域（即原函数的值域），并标在解析式后.前两步也可以变为：①把y作为已知解出x；②交换x，y得y＝f-1（x）.［2019·四川绵阳南山中学高一检测］已知函数f（x）＝2x的反函数为y＝g（x），则的值为（）A.-1B.1C.12D.2A1.2.［2019·上海嘉定区高三二模］设函数f（x）＝（其中a为常数）的反函数为f-1（x），若函数f-1（x）的图像经过点（0，1），则方程f-1（x）＝2的解为.变式训练x=1三反函数的图像应用例3已知α与β分别是函数f（x）＝2x+x-5与g（x）＝log8x3+x-5的零点，则2α+log2β的值为（）A.4+log23B.2+log23C.4D.5【解析】由g（x）＝log8x3+x-5，化简得g（x）＝log2x+x-5.由f（x）＝0得2x＝5-x.由g（x）＝0得log2x＝5-x.由y＝2x，y＝log2x互为反函数，知它们的图像关于直线y＝x对称.如图，作直线y＝5-x，分别交y＝2x，y＝log2x的图像于A，B两点，设点P（x，y）为线段AB的中点，则点P为直线y＝x与直线y＝5-x的交点.联立得x＝，由中点坐标公式得α+β＝5，∴2α+log2β＝（5-α）+（5-β）＝10-（α+β）＝5.【答案】D解题归纳反函数的图像特点（1）若函数y＝f（x）的图像上有一点（a，b），则点（b，a）必在其反函数的图像上；反之，若点（b，a）在其反函数的图像上，则点（a，b）必在原函数的图像上.因此，互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称.（2）函数y＝f（x）与它的反函数y＝f-1（x）的图像相交但不重合时，它们的交点必在直线y＝x上.有的函数的反函数是它本...
