§8.8立体几何中的向量方法（Ⅱ）——求空间角与距离基础知识自主学习要点梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0n·b＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小是θ＝,ABCD�2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝或．cos〈n1，n2〉-cos〈n1，n2〉3．点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d=AB�nn[难点正本疑点清源]1．空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解．平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况．2．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．基础自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()A．90°B．30°C．45°D．60°解析 cos〈a，b〉＝12·2＝12，又 〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.D2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.C3．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，∴θ＝30°.A4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．解析由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．∴Fa，a2，0，Ea2，a2，a2.∴|EF|＝a－a22＋a2－a22＋0－a22＝a24＋a24＝22a.22a5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF�＝(0，－1,1)，1BC�＝(2,0,2)，∴EF�1BC�＝2，∴cos1,EFBC�＝22×22＝12，∴EF和BC1所成角为60°.答案60°题型分类深度剖析题型一求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．思维启迪：（1）本题易于建立空间直角坐标系，把EC1与FD1所成的角看向量EC1→与FD1→的夹角，用向量法求解．(2)平移线段C1E让C1与D1重合，转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解．解方法一以A为原点，1ABADAA�、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1→＝(1,3,2)，FD1→＝(－4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为β，则：cosβ=1111ECFDECFD��＝1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋22＝2114，∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.方法二延长BA至点E1，使AE1＝1，连接E1F、DE1、...
