本章优化总结本章优化总结知识网络构建专题探究精讲章末综合检测知识网络构建专题探究精讲三角函数的有关概念掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例例11已知角α的终边经过点P(3m，－4m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．【分析】利用三角函数定义求值，注意对m进行分类讨论．【解】r＝3m2＋－4m2＝5|m|，若m＞0，则r＝5m，α为第四象限角．sinα＝yr＝－4m5m＝－45；cosα＝xr＝3m5m＝35；tanα＝yx＝－4m3m＝－43.若m＜0，则r＝－5m，α为第二象限角．sinα＝yr＝－4m－5m＝45；cosα＝xr＝3m－5m＝－35；tanα＝yx＝－4m3m＝－43.【点评】利用三角函数的定义求三角函数值要考虑角α终边可能在的位置，即要考虑三角函数值符号问题，同时注意应用“勾股数”等解题以减少运算．同角三角函数的基本关系和诱导公式(1)诱导公式属异角三角函数间基本关系式，它与同角三角函数的基本关系式常一起使用，近几年的高考命题中，主要考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出推理、计算的考查．(2)在解决具体问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及函数与方程的思想．例例22已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求1cos2x－sin2x的值．【分析】(1)由sinx＋cosx＝15及sin2x＋cos2x＝1可得出sinx、cosx的值，从而求出sinx－cosx的值；另外，由－π2＜x＜0，可得出sinx＜0，cosx＞0，从而判定sinx－cosx的符号，只需求(sinx－cosx)2即可．(2)由(1)及已知条件可求出tanx，而1cos2x－sin2x＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x，想法使分子分母都出现tanx即可．【解】(1)法一：联立方程：sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1.②由①得sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0. －π2＜x＜0，∴sinx＝－35，cosx＝45.所以sinx－cosx＝－75.法二： sinx＋cosx＝15，∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，即1＋2sinxcosx＝125，∴2sinxcosx＝－2425. (sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925.③又 －π2＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx－cosx＜0.④由③④可知sinx－cosx＝－75.(2)由已知条件及(1)可知sinx＋cosx＝15，sinx－cosx＝－75，解得sinx＝－35，cosx＝45.∴tanx＝－34.∴1cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2xcos2x－sin2x＝sin2x＋cos2xcos2xcos2x－sin2xcos2x＝tan2x＋11－tan2x＝－342＋11－－342＝257.【点评】(1)方程的思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用，一定要注意其应用．(2)注意“1”的用法(即1＝sin2x＋cos2x)．(3)关于sinx、cosx的齐次式，往往化为关于tanx的式子．三角函数的性质三角函数作为中学阶段所学的基本初等函数之一，在考查时往往与后面的知识相联系，着重考查三角函数的几大性质．解答此类问题时，时常用到数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，知识体系相对较复杂，是我们学习的一个重中之重，应引起足够重视．例例33已知函数y＝asin(2x＋π6)＋b在x∈[0，π2]的上值域为[－5,1]，求a、b的值．【分析】由于y＝asin(2x＋π6)＋b含参数a，因此需先由x的范围确定sin(2x＋π6)的范围，再根据a的符号，讨论a、b的取值．【解】 x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]，sin(2x＋π6)∈[－12，1]．∴当a＞0时，a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得a＝4，b＝－3.当a＜0时，－12a＋b＝1，a＋b＝－5，解得a＝－4，b＝－1.∴a、b的取值分别是4、－3或－4、－1.【点评】本题是先由定义域确定正弦函数y＝sin(2x＋π6)的值域，但整个函数的最值的取得与a的正、负有关系，故对a进行分类讨论．例例44函数f(x)＝3sin(2x－π3)的图象为C.①图象C关于直线x＝1112π对称；②函数f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是________．【分析】由三角函数的性质逐项判断...
