一轮复习讲义一轮复习讲义直线、平面平行的判定及其性质1．直线a和平面α的位置关系有、、，其中与统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒；(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒.忆一忆知识要点平行相交在平面内平行相交a∥αa∥βa∥l4．两个平面的位置关系有．平行、相交要点梳理5．两个平面平行的判定(1)定义：；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒；(3)推论：a∩b＝A，a，b⊂α，a′∩b′＝A′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒.6．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒.7．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒；(2)a⊥α，a⊥β⇒.两个平面没有公共点，称这两个平面平行α∥βα∥βα∥βa∥ba∥bα∥β[难点正本疑点清源]1．直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后面两种又统称为直线在平面外．2．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．3．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．4．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.直线与平面平行的判定与直线与平面平行的判定与性质性质证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明方法一如图所示．作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD，QNDC＝BQBD，∴PMAB＝QNDC，∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如图，连结AQ，并延长交BC延长线于K，连结EK， AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，又AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK，∴APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连结QM.∴PM∥平面BCE，又 平面ABEF∩平面BCE＝BE，∴PM∥BE，∴APPE＝AMMB，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，∴AMMB＝DQQB，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ.∴PQ∥平面BCE.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．探究提高如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.变式训练1证明如图，连结AC交BD于点O，连结MO， 四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.则有PA∥平面BMD.(根据直线和平面平行的判定定理) 平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.(根据直线和平面平行的性质定理)例2如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.平面与平面平行的判定与平面与平面平行的判定与性质性质(1)要证E、B、F、D1四点共面，只需证明BE∥FD1即可．(2)根据两平面平行的判定定理，只需证HG，A1G分别平行平面BED1F.证明(1)连结FG. AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又 C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綊C1B1綊D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共...
