2．3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1．下面四个命题，其中真命题的个数是()B①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一直线的两条直线平行．B．3个D．1个A．2个C．4个解析：②、③、④正确．2．下列命题(a、b表示直线，α表示平面)中的真命题是()A3．下列命题中，假命题是()DA．过一点有一个平面与已知直线垂直B．过一点至多只有一个平面与已知直线垂直C．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直D．过一点可能有两个平面与已知直线垂直A.a∥bb⊥α⇒a⊥αB.a∥bb⊂α⇒a∥αC.a⊥bb∥α⇒a⊥αD.a⊥αa⊥b⇒b∥α4．直线l和平面α内无数条直线垂直，则()DA．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在α内D．不确定解析：直线l和平面α内无数条直线垂直，可能是l∥α，l⊂α，或l和α相交(也可能垂直)，即l和α的位置关系不确定．重点线面垂直的判定1．判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法：(1)定义法：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.l－平面α的垂线，α－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足(线线垂直→线面垂直)；(2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直．用符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α，则l⊥α；(3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化．3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．难点直线与平面所成的角斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”．通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和斜足是产生线面角的关键．线面垂直判定定理的应用例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1证明： AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又 AE与DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要证明直线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可．下面结论成立的是()1－1.如图2(1)，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图2(2))，使G1、G2、G3三点重合于点G，(1)(2)图2A．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFB．SD⊥平面EFGD．GD⊥平面SEF解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.A1－2.如图3，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，E是PC上的任一点(除P和C点外)，证明：CD⊥AE.图3证明：在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又 AC⊥CD，PA∩AC＝A.∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.直线与平面所成的角例2：如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．图4解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中各个面为正方形，设其棱长为a.⇒A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．⇒A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.A1B1⊥B1C1A1B1⊥B1B⇒A1B1⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1⇒A1B1⊥BC1BC1⊥B1C⇒BC1⊥平面A1B1CD在Rt△A1BO中，A1B＝2a，OB＝22a⇒sin∠BA1O＝OBA1B＝12∠BA1O为锐角⇒∠BA1O＝30°求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角...
