1全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知ABC中,60A,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.2、如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作60DMN,射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系?3、如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75°,∠BMC=45°,求AB的长。4、已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.NEBMADDOECBAMDCBAFEDCBA25、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE,连结CD、BE相交于点O.求证:OA平分DOE.6、如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长.7、如图所示,在ABC中,ABAC,D是底边BC上的一点,E是线段AD上的一点,且2BEDCEDBAC,求证2BDCD.8、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD平分∠CDEFABCDEOOEDCBANMDCBAEDCBACEDBA3二、全等与角度1、如图,在ABC中,60BAC,AD是BAC的平分线,且ACABBD,求ABC的度数.2、如图所示,在ABC中,ACBC,20C,又M在AC上,N在BC上,且满足50BAN,60ABM,求NMB.3、在正ABC内取一点D,使DADB,在ABC外取一点E,使DBEDBC,且BEBA,求BED.DCBANMCBADECBA44、如图所示,在ABC中,44BACBCA,M为ABC内一点,使得30MCA,16MAC,求BMC的度数.5、如图:在ABC内取一点M,使得MBA30,10MAB.设80ACB,ACBC,求AMC.6、如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?如是正五边形,正六边形呢?MCABMCBANCDEBMA5参考答案:一、截长补短1、BECDBC,理由是:在BC上截取BFBE,连结OF,利用SAS证得BEO≌BFO,∴12, 60A,∴1901202BOCA,∴120DOE,∴180ADOE,∴180AEOADO,∴13180, 24180,∴12,∴34,利用AAS证得CDO≌CFO,∴CDCF,∴BCBFCFBECD.2、DMMN.过点M作MGBD∥交AD于点G,AGAM,∴GDMB又 120ADMDMA∠,120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠,而120DGMMBN∠∠,∴DGMMBN≌,∴DMMN.3、过点D作BC的垂线,垂足为E. ∠AMD=75°,∠BMC=45°∴∠DMC=60° DM=CM∴CD=DM AD⊥AB,DE⊥BC,CB⊥AB,∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形,AB=AD=h,选D.4、延长CB至M,使得BM=DF,连接AM. AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为ABD、ACE是等边三角形,所以ABAD,AEAC,CAE60BAD,则BAEDAC,所以BAEDAC≌,则有ABEADC,AEBACD,BEDC.在DC上截取DFBO,连结AF,容易证得ADFABO≌,ACFAEO≌.进而由AFAO.得AFOAOF;由AOEAFO可得AOFAOE,即OA平分DOE.4321FDOECBAGNEBMADEMDCBAMFEDCBAFABCDEOOEDCBA66、如图所示,延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中,因为BDCD,90MBDECD,BMCE,所以BDMCDE≌,故MDED.因为120BDC,60MDN,所以60BDMNDC.又因为BDMCDE,所以60MDNEDN.在MND与END中,DNDN,60MDNEDN,DMDE,所以MNDEND≌,则NEMN,所以AMN的周长为2.7、如图所示,作BED的平分线交BC于F,又过A作AHEF∥交BE于G,交BC于H,则知12EAGDEFBEFAGEBAC,从而GEAE.又12AGEBEDCED,则AGBCEA.由ABEBAEBEDBACCAEBAE可得ABGCAE.注意到ABCA,故有ABGCAE≌,从而BGAE,AGCE,于是BGGE.又由AHEF∥,有BHHF,12GHEF,且AHHDEFFD.而CEDFED,从而1122CDECAGAHGHAHHDFDEFEFEFEFFD,即1111122222CDHDFDHFFDBFFDBD,故2BDCD.8、延长DE至F,使得EF=BC,连接AC. ∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF AB=AE,BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC,AC=AF BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.二、全等与角度1、如图所示,延长AB至E使BEBD,连接ED、EC.由ACABBD知AEAC,而60BAC,则AEC为等边三角形.注意到EADCAD,ADAD,AEAC,故AEDACD≌.从而有DEDC,DECDCE,故2BEDBDEDCEDECDEC.EABCDMNGHFEDCBAABDEFCEDCBA7所以20DECDCE,602080ABCBECBCE【另解】在AC上取点E,使得AEAB,则由题意可...