§5导数及其应用(一)真题热身1．(2011·重庆改编)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为____________．解析 y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝3
∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1
y＝3x－12．(2011·福建改编)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析f′(x)＝12x2－2ax－2b， f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6
又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9
93．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．24．(2011·湖南改编)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_____．解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MN＝y＝t2－lnt(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2(t＋22)(t－22)t
当00且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)．(3)复合函数求
