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高考数学考前专题复习篇 专题二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 导数及其应用(一)2-5-1 课件VIP免费

高考数学考前专题复习篇 专题二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 导数及其应用(一)2-5-1 课件_第1页
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§5导数及其应用(一)真题热身1.(2011·重庆改编)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为____________.解析 y′=-3x2+6x,∴y′|x=1=3.∴曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.y=3x-12.(2011·福建改编)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为________.解析f′(x)=12x2-2ax-2b, f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,∴ab的最大值为9.93.(2011·广东)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值.解析由f(x)=x3-3x2+1得f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,当∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,故当x=2时,函数f(x)取得极小值.24.(2011·湖南改编)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当MN达到最小时t的值为_____.解析由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出MN=y=t2-lnt(t>0).y′=2t-1t=2t2-1t=2(t+22)(t-22)t.当022时,y′>0,可知y在此区间内单调递增.故当t=22时,|MN|有最小值.22考点整合1.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t).2.基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=cf′(x)=0f(x)=xn(n∈N*)f′(x)=nxn-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0且a≠1)f′(x)=1xlnaf(x)=lnxf′(x)=1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x).②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).③[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0).(3)复合函数求导复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).3.函数的性质与导数(1)在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;在区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求f′(x)=0的根;③判定根两侧导数的符号;④下结论.(3)求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x);②求f′(x)=0的根(注意取舍);③求出各极值及区间端点处的函数值;④比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).分类突破一、导数的几何意义例1设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解f′(x)=a-1(x+b)2,于是2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0.解得a=1,b=-1,或a=94,b=-83.因为a,b∈Z,故f(x)=x+1x-1.(2)证明已知函数y1=x,y2=1x都是奇函数,所以函数g(x)=x+1x也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而f(x)=x-1+1x-1+1.可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明在曲线上任取一点x0,x0+1x0-1,由f′(x0)=1-1(x0-1)2知,过此点的切线方程为y-x20-x0+1x0-1=1-1(x0-1)2(x-x0).令x=1,得y=x0+1x0-1,切线与直线x=1的交点为1,x0+1x0-1;令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为12x0+1x0-1-1|2x0-1-1|=122x0-1|2x0-2|=2.所以,所...

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