第八章立体几何§8.4§8.4直线、平面垂直的直线、平面垂直的判定与性质判定与性质知识回顾理清教材要点梳理1.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线.②垂直于同一个平面的两条直线.③垂直于同一条直线的两平面.相交垂直任意平行平行知识回顾理清教材要点梳理2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面.垂线交线知识回顾理清教材要点梳理4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直题号答案12345DCC可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个(1)×夯实基础突破疑难夯基释疑(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪思维升华解析思维升华解析思维启迪第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中， PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.`(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. E是PC的中点，∴AE⊥PC.题型一直线与平面垂直的判定与性质思维启迪思维升华解析【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又 AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.题型一直线与平面垂直的判定与性质思维启迪思维升华解析思维启迪思维升华解析(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.跟踪训练1如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA⊥底面AB...
