专题七选修系列4第1讲几何证明选讲感悟高考明确考向(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．解析 ∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴PBPD＝PCPA＝BCAD. PBPA＝12，PCPD＝13，∴BCAD＝66.66答案考题分析本题考查了圆内接四边形的性质，考查了相似三角形的判定及性质．考查了学生的推理和计算能力．易错提醒(1)易忽视圆内接四边形的性质，从推不出△PCB∽△PAD.(2)比例关系不明确，不能将已知比例转化成BCAD的值．主干知识梳理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．6．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．8．圆内接四边形的性质定理(1)圆的内接四边形的对角互补；(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．9．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．热点分类突破题型一相似三角形的判定及性质的应用例1如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.解析 AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴ABAD＝14，BMDH＝ABAD.∴BM16＝14，∴BM＝4.取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，∴PQ＝12(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14.同理：CG＝12(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.答案415变式训练1如右图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.解析 E是AB的中点，∴AB＝2EB. AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM，∴△EDM∽△FBM.∴DMBM＝DEBF. F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3.3题型二圆的切割线定理的应用例2如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30˚，则BC＝________.解析连接AC， PC2＝PA·PB，∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30˚，在△PAC中，由正弦定理得2sin30˚＝4sin∠PAC，∴sin∠PAC＝1，从而∠PAC＝90˚，∠P＝60˚，∠PCB＝90˚，∴BC＝PB2－PC2＝43.43变式训练2如图所示，PT为⊙O的切线，T为切点，PA是割线，它与⊙O的交点是A、B，与直径CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝________.解析由相交弦定理，得CD·DT＝AD·BD，∴DT＝AD·BDCD＝3×42＝6，∴PT2＝(PB＋4)2－62＝PB(PB＋7)．解得PB＝20.20题型三关于圆的综合应用例3如右图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．思维启迪充分利用相似三角形与圆的知识．...
