第59讲立体几何中的向量法【学习目标】1．会找直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．2．能用向量法证明有关直线和平面关系的一些定理．3．会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离．【基础检测】1．已知向量a＝(－2，－3，1)，、b＝(2，0，4)、c＝(－4，－6，2)分别是直线a，b，c的方向向量，则下列结论正确的是()A．a∥c，b⊥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对【解析】 c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)，∴a∥c.又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.C2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】 cos〈m，n〉＝－12，∴sinα＝|cos〈m，n〉|＝12，又 直线与平面所成角α满足0°≤α≤90°，∴α＝30°.A3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C－AB－D的大小为θ，则sinθ的值等于()A.34B.74C.377D.45【解析】由题意可求得BO＝94，OC＝74，AO＝347，建立空间直角坐标系如图，则C74，0，0，B－94，0，0，A0，0，347，D74，3，0，BD→＝(4，3，0)，BA→＝94，0，347，A设m＝(x，y，z)是平面ABD的一个法向量．由m·BD→＝4x＋3y＝0m·BA→＝94x＋374z＝0，得y＝－43xz＝－377.令x＝7，则m＝7，－283，－37，又CD→＝(0，3，0)是平面ABC的一个法向量．∴cos〈m，CD→〉＝m·CD→m·CD→＝－283×1673＝－74.∴sinθ＝1－－742＝34.4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，F是DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A.33B.55C.53D.255【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)，F0，0，12，B(1，1，1)，∴AB→＝(0，1，0)，AF→＝－1，0，－12..D设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0，AF→·n＝0.∴y＝0，－x－12z＝0.令x＝1，则n＝(1，0，－2)．又1�AB＝(0，1，－1)，∴B1到平面ABF的距离为d＝|AB1→·n||n|＝255【知识要点】1．直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.2．用向量法证明空间中的平行与垂直关系平行垂直直线与直线(v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量)l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面(v为直线l的方向向量，n1为平面α的法向量)①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0②l∥α⇔v＝xa＋yb，其中a，b为平面α内不共线的向量，x，y均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面(n1，n2分别为平面α，β的法向量)α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝03.空间角和空间距离的向量表示(1)直线与平面所成的角直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线a与平面α所成的角θ等于向量m,n所成的锐角的余角(若所成角为钝角,则取其补角的余角),即______________．特例:若m⊥n，则______或_______．若m∥n，则a⊥α.(2)二面角的平面角设二面角α－l－β的两个半平面α和β的法向量分别为m，n，设二面角α－l－β的大小为θ，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时，cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|；当二面角为钝角时，_________________________________．特例：若m∥n，则______，若m⊥n，则_______．sinθ＝|m·n||m|·|n|a∥αa⊂αcosθ＝－|cos〈m，n〉|＝－|m·n||m||n|α∥βα⊥βn4．点到平面的距离设平面α的法向量为____，P是平面α外一点，Q是平面α内任一点，则点P到平面α的距离d等于PQ→在法向量n上的投影的绝对值，即d＝________．|n·PQ→...
