第2讲空间中的平行与垂直【高考真题感悟】(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.考题分析本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，难度较小.易错提醒(1)不能准确运用线面平行的判定定理，易漏掉条件：EF⊄平面PCD.(2)线面关系的转化运用不熟练.如要证平面BEF⊥平面PAD，只需证BF⊥平面PAD，只需证BF⊥AD.(3)书写解题过程混乱，条件不充分，表达不规范.主干知识梳理1.点、线、面的位置关系(1)公理1 A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2 P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.(3)公理3 A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面.三个推论：①过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.②过两条相交直线有且只有一个平面.③过两条平行直线有且只有一个平面.(4)公理4 a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理 OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理 a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理 a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.4.异面直线所成的角(1)定义.(2)范围：θ∈(0，π2].(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形.若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角.5.直线与平面所成的角(1)定义.(2)范围：θ∈[0，π2].(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得.6.二面角(1)定义.(2)范围：θ∈[0，π].(3)找二面角平面角的方法①定义法.②垂面法.③垂线法.④特殊图形法.垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：①弄清该二面角及它的棱.②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线).③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角.④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小.热点分类突破题型一线线、线面平行与垂直例1如图所示，正三棱柱A1B1C1—ABC中，点D是BC的中点，BC＝2BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.思维启迪本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”.证明(1)连结A1B，设A1B与AB1交于E，连结DE. 点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C， A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2) △ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC. 平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1， BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. 点D是BC的中点，BC＝2BB1，∴BD＝22BB1. BDBB1＝CC1BC＝22，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.∴∠BDB1＝∠BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.∴BC1⊥B1D. B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.探究提高线面平行、线面垂直的证明是立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包括思...
