4.34.3空间直角坐标空间直角坐标系系1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.三楼屋顶有一蜂窝,住户报119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有20米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米,蜂巢能被击落吗?问题1原点空间直角坐标系(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标,x轴、y轴、z轴叫作.通过每两个坐标轴的平面叫作,分别称为平面、平面、平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=,∠yOz=90°.(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于坐标轴坐标平面xOyyOzzOx45°或135°点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫作点M的,y叫作点M的,z叫作点M的.(4)说明:本书建立的坐标系都是手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(5)特例:在空间直角坐标系中，坐标平面xoy,xoz,yoz上的点的坐标有什么特点？在空间直角坐标系中，x轴,y轴,z轴上的点的坐标有什么特点？一一对应M(x,y,z)横坐标纵坐标竖坐标右xyz问题2空间两点间的距离公式(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=,特别地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|=.(2)说明:注意此公式与两点的先后顺序无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.ට(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2ඥx2+y2+z2(3)中点坐标:设21PP的中点是),,(0000zyxP，则0x，0y，0z。距离问题3情境中要知蜂巢能否被击落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以通过立体几何的知识可以解决,但我们想换一种思维即采用代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的,我们就可以解决上面的这个实际应用题.1C2点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是().A.在y轴上B.在xOy平面上C.在xOz平面上D.在yOz平面上【解析】点P(2,0,3)在xOz平面上.故选C.点A是点P(1,2,3)在平面yOz内的射影,则|OA|等于().A.ξ14B.ξ13C.2ξ3D.ξ11【解析】 点P在yOz内射影为A(0,2,3),∴|OA|=ξ22+32=ξ13.故选B.B34在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是.【解析】由中点坐标公式得AB的中点坐标为(3-22,4+22,0),即(12,3,0).在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使点M到点N(6,5,1)的距离最小.【解析】由已知,可设M(x,1-x,0),则|MN|=ට(x-6)2+(1-x-5)2+(0-1)2=ට2(x-1)2+51≥ξ51.∴当x=1,y=0时,|MN|min=ξ51.∴点M坐标为(1,0,0).(12,3,0)确定空间内点的坐标例1如图,在长方体ABCD—A'B'C'D'中AD=3,AB=5,AA'=4,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,求E,F点的坐标.【解析】E点在xoy平面上的射影为B(3,5,0),竖坐标为2,∴E(3,5,2).F点在xoy平面上的射影为BD的中点G(32,52,0),竖坐标为4,∴F(32,52,4).空间中两点之间的距离例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.【解析】如图,以点D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点E的坐标为(x,y,0),在坐标平面xOy内,直线AC的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0, DE⊥AC,∴直线DE的方程为x-2y=0.由ቊ2x+y-4=0,x-2y=0,得ቐx=85,y=45,∴E(85,45,0).∴|B1E|=ට(85-2)2+(45-4)2+(0-2)2=6ξ105,即B1E的长为6ξ105.变式1.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.【解析】以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),...
