2.2圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点,能将一般方程化为标准方程,进而求出圆心坐标和半径,能将标准方程化为圆的一般方程.2.掌握待定系数法求一般方程的方法.3.了解二元二次方程与圆的方程的关系,知道二元二次方程表示圆的充要条件.圆的一般方程方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程,其圆心为ቀ-𝐷2,-𝐸2ቁ,半径为r=12ට𝐷2+𝐸2-4𝐹.名师点拨1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆,当且仅当D2+E2-4F>0时表示圆,当D2+E2-4F=0时表示一个点,当D2+E2-4F<0时不表示任何图形.2.圆的一般方程的特点(1)x2和y2的系数相等且不为0;(2)没有xy这样的二次项;(3)满足D2+E2-4F>0.【做一做1】下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径,并画出图形.(1)2x2+y2-7x+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-4x=0.解:根据二元二次方程表示圆的条件判断.(1)不能表示圆,因为方程中x2,y2项的系数不相同.(2)不能表示圆,因为方程中含有xy这样的二次项.(3)不能表示圆,因为(-2)2+(-4)2-4×10=-20<0.(4)能表示圆,方程可化为x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,如图所示.【做一做2】求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程,并求出此圆的圆心与半径.解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.可知此圆的圆心坐标为(1,2),半径为10.൝1+144+𝐷+12𝐸+𝐹=0,49+100+7𝐷+10𝐸+𝐹=0,81+4-9𝐷+2𝐸+𝐹=0,解得൝𝐷=-2,𝐸=-4,𝐹=-95.题型一题型二题型三题型一根据圆的一般方程求圆心和半径【例1】求下列各圆的圆心坐标和半径:(1)x2+y2-4y=0;(2)x2+y2+2ax=0(a≠0).分析:由圆的一般方程确定圆心坐标和半径通常有两种方法:一是将其化为标准方程后求圆心坐标和半径;二是利用一般方程表示圆时,圆心为ቀ-𝐷2,-𝐸2ቁ,半径为r=12ට𝐷2+𝐸2-4𝐹来求解.题型一题型二题型三解:方法一:将方程分别化为标准方程:(1)x2+(y-2)2=4,圆心坐标为(0,2),半径为2.(2)(x+a)2+y2=a2,圆心坐标为(-a,0),半径为|a|.方法二:(1) -02=0,--42=2,∴圆心坐标为(0,2),半径r=12ට02+(-4)2-4×0=2.(2) -2𝑎2=-a,-02=0,∴圆心坐标为(-a,0),半径r=12ට(2𝑎)2+02-4×0=|a|.题型一题型二题型三反思1.可将圆的一般方程先转化为标准方程再求圆心坐标和半径.2.由公式求半径和圆心坐标时,一定要注意圆的一般方程的形式,二次项系数相等且为1.题型一题型二题型三【变式训练1】将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆心坐标和半径:(1)2x2+2y2+4ax-2=0;(2)x2+y2-2x+y+=0.解:(1)将2x2+2y2+4ax-2=0两边同除以2,得x2+y2+2ax-1=0,配方,得(x+a)2+y2=1+a2.故圆心坐标为(-a,0),半径为ξ1+𝑎2.(2)将x2+y2-2x+y+14=0配方,得(x-1)2+ቀ𝑦+12ቁ2=1.故圆心坐标为ቀ1,-12ቁ,半径为1.14题型一题型二题型三题型二圆的方程的判断【例2】判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心坐标和半径.分析:解答本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.题型一题型二题型三解:方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,原方程表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆.此时,圆的圆心为点(2m,-m),方法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,原方程表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为点(2m,-m),半径为r=|m-2|.半径为r=12ට𝐷2+𝐸2-4𝐹=ξ5|m-2|.ξ5题型一题型二题型三反思对于判断二元二次方程是否表示圆的题目,解答的步骤是:(1)看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式,若不符合这种形式则不表示圆,若符合这种形式则再进行判断.(2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足,若满足,则表示圆;若不满足,则不表示圆.题型一题型二题型三解:方法一: a≠0,∴原方程可化为x2+y2-4(𝑎-1)𝑎x+4𝑎y=0,即ቂ𝑥-2(𝑎-1)𝑎ቃ2+ቀ𝑦+2𝑎ቁ2=4[(𝑎-1)2+1]𝑎2.又4[(𝑎-1)2+1]𝑎2>0,∴原方程表示圆,此时圆心坐标为ቀ2(𝑎-1)𝑎,-2𝑎ቁ,半径r=2ඥ𝑎2-2𝑎+2|𝑎|.方法二: a≠0,∴原方程可化为x2+y2-4(𝑎-1)𝑎x+4𝑎y=0. D2+E...
