第5课时数列的综合应用1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A．1B．2C．4D．6答案：B2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2解析： 曲线的顶点是(1,2)，∴b＝1，c＝2，又 a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.故选B.答案：B3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟答案：B4．若A、B、C成等差数列，则直线Ax＋By＋C＝0必过点________．解析： 2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0，∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．答案：(1，－2)5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.答案：91．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对于两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1(n∈N)．(1)当t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15得，b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d＝2或－10.又等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d＝－10，从而Tn＝20n－5n2.[变式训练]1.已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且a4，a5＋4，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求的最大值．解析：(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)，依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6，即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. q∈R，∴q＝2，a1＝1.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化．然后用等差数列知识求解，这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．[变式训练]2.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付150元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？解析：购买当天付了150元，余欠款1000元，按题意分20次还清．设每次付款依次构成数列{an}，则a1＝50＋1000×0.01＝60元，a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5元，a3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59元，…an＝60－(n－1)×0.5，∴{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列．∴a10＝60－...
