§6.2算术平均数与几何平均数考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考6.2算术平均数与几何平均数双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．基本不等式若a，b∈R，则a2＋b2_________2ab，当且仅当________时取“＝”号．2．均值不等式如果a，b是______，那么a＋b2______ab，当且仅当a＝b时取“＝”号．这一定理又可叙述为：两个正数的______________不小于它们的_____________．≥a＝b正数≥算术平均数几何平均数3．利用均值不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最_______值_____.(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s(定值)，那么当x＝y时，xy有最_______值______.小大2ps24思考感悟1．不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥2ab成立的条件为什么会有变化？提示：两个不等式是通过换元转化过来的，即设a2＝x，b2＝y，则a2b2＝xy，ab＝xy(取算术根)∴a2＋b2≥2ab变为x＋y≥2xy，其中x＝a2≥0，y＝b2≥0.∴a＋b≥2ab成立的条件为a≥0，b≥0.2．利用均值不等式求最值应注意什么条件？提示：利用均值不等式求最值，一定要注意使用的条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)．课前热身答案：D1．(教材练习2改编)已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是()A.ba＋ab≥2B.ba＋ab≥－2C.ba＋ab≤－2D．|ba＋ab|≥22．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(01时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是()A．函数f(x)有最小值2B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3D．函数f(x)有最大值34．当x∈(0,1]时，2＋x＋4x的最小值为________．5．若x＋2y＝1，则3x＋9y的最小值是________．答案：7答案：23考点探究·挑战高考考点突破利用均值不等式证明不等式证明不等式时，可依据求证两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证．参考本节教材例2.例例11证明：若a1，a2是正实数，则有a21a2＋a22a1≥a1＋a2.【思路分析】左边为“分式”形式，右边为“整式”形式，可由a21a2＋a2≥2a1来转化．【证明】因为a1，a2是正实数，所以a21a2＋a2≥2a1，a22a1＋a1≥2a2，故a21a2＋a2＋a22a1＋a1≥2a1＋2a2，即a21a2＋a22a1≥a1＋a2.【领悟归纳】利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式，关键是所证不等式中必须具有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用定理时等号能否取到．互动探究1请你把上述不等式推广到一般情形，并证明你的结论．解：推广：若a1，a2，…，an都是正实数，则有a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.证明如下：因为a1，a2，…，an都是正实数，所以a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2n－1an＋an≥2an－1，a2na1＋a1≥2an，故a21a2＋a2＋a22a3＋a3＋…＋a2n－1an＋an＋a2na1＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，即a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.利用均值不等式求最值合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．参考教材例1.求下列各题的最值(1)x>0，求f(x)＝12x＋3x的最小值；(2)x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(3)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝2x＋5y的最小值．例例22【思路分析】(1)由x>0，12x·3x＝36是常数，故可直接利用均值不等式；(2)因4x－3·x不是常数，故需变形．f(x)＝4x－3＋x－3＋3，又x－3<0，故需变号；(3)由条件lgx＋lgy＝1得定值xy＝10，故可用均值不等式．【解】(1) x>0，∴f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝12，等号成立的条件是12x＝3x，即x＝2，∴f(x)的最小值是12.(2) x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－[43－x＋(3－x)]＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.(3)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y＝2y＋5x10≥210xy10＝2.∴(2x...
