本章归纳整合知识网络要点归纳1．向量的概念及向量间的关系(1)向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，有向线段的长度即向量的模(长度)，需注意有向线段有起点，而向量是自由移动的．(2)零向量长度为0，单位向量长度为1，二者方向都是任意的；相等向量是长度相等方向相同的向量；相反向量是长度相等方向相反的向量；平行(共线)向量是方向相同或相反的向量，与长度无关．(3)关于零向量的有关规定①0＝0，－0＝0(所有零向量相等，零向量的相反向量是零向量)②0∥a(零向量与任意向量共线)③0＋a＝a(零向量与任意向量a的和仍是a)④0a＝0，λ0＝0(零乘任何向量得零向量，任意实数乘零向量得零向量)⑤0·a＝0(零向量与任意向量的数量积为0)⑥0＝(0,0)(零向量的坐标表示中，横、纵坐标都是0)2．线性运算法则(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB→＋BC→＝AC→；向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线所在向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的应用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．减法也满足交换律、结合律．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．数乘向量满足结合律和分配律．3．共线定理与平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使AP→＝xAB→(或xAC→)，或对直线外任意一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．平面向量基本定理是实现平面任意向量的基底化表示，是平面向量坐标化表示的理论基础．4．向量数量积的运算及坐标表示(1)两个向量的数量积是a·b＝|a||b|·cosθ，θ为a与b的夹角．数量积满足运算律：①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律，即a·b＝b·a；③分配律：即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(2)向量运算的坐标表示：若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或a1b1＝a2b2(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝a·a＝a21＋a22；⑧若θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22；(3)平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.专题一向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫做向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决诸如三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．【例1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝________.(用a，b表示AF→)解析如图所示，AD→＝AO→＋OD→＝12a＋12b，DC→＝AC→－AD→＝a－12a－12b＝12a－12b. A、E、F共线，∴AF→＝λAE→＝λ(AD→＋DE→)．＝λ12a＋12b－b4＝λ2a＋λ4b.又 AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋μDC→＝12a＋12b＋μ12a－12b＝1＋μ2a＋1－μ2b，∴λ2a＋λ4b＝1＋μ2a＋1－μ2b. 向量a、b不共线，由平面向量基本定理，得λ2＝1＋μ2，λ4＝1－μ2，解得λ＝43，故AF→＝23a＋13b.答案23a＋13b专题二向量的坐标运算1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统...
