专题七选修系列4第1讲几何证明选讲感悟高考明确考向(2010·江苏选修4－1：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.证明如图所示，连接OD，BD，因为CD为⊙O的切线，AB为直径，所以∠ADB＝∠ODC＝90°.所以∠ODA＝∠BDC.又因为DA＝DC，所以∠DAB＝∠DCB.所以△ADO≌△CDB.所以OA＝BC，从而AB＝2BC.考题分析本题考查了圆的弦切角定理、圆的切线的性质定理以及三角形全等的判定与性质定理．考查了考生推理论证的能力．易错提醒(1)忽视对△ADO≌△CDB的证明，找不到OA与BC的等量关系．(2)书写不规范，步骤不严谨．主干知识梳理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．6．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．8．圆内接四边形的性质定理：(1)圆的内接四边形的对角互补．(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．9．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．热点分类突破题型一相似三角形的判定及性质的应用例1如图，BD、CE是△ABC的高．求证：ADE∽△ABC.思维启迪在△ADE与△ABC中，∠A是公共角，所以可以考虑其夹角的两边对应成比例．证明 BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又 ∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，∴ADAE＝ABAC.又 ∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.探究提高判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．变式训练1如右图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.(1)证明 E是AB的中点，∴AB＝2EB. AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM，∴△EDM∽△FBM.(2)解 △EDM∽△FBM，∴DMBM＝DEBF. F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3.题型二圆的切割线定理的应用例2(2010·全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.思维启迪(1)弦切角定理：∠ACE＝∠CBA；(2)△BDC∽△ECB.证明(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝即）AC）BDBCCD.2CDBEBC探究提高在证明角或线段相等时，要注意等量代换．在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．变式训练2如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D....
