第三节平面向量的数量积重点难点重点：平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示．难点：数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题．知识归纳一、向量数量积的定义1．向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝π2时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2．向量a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量_________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.3．向量的投影如图，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝________叫做向量b在a方向上的投影．当θ为锐角时，如图(甲)，它是正值；|a||b|cosθ|b|·cosθ当θ为钝角时，如图(乙)，它是负值；当θ为直角时，如图(丙)，它是0；当θ为0°时，它是|b|；当θ为180°时，它是－|b|.4．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．二、平面向量数量积的性质1．a⊥b⇔a·b＝0.2．当a与b同向时，a·b＝____；当a与b反向时，a·b＝______；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.|a||b|－|a||b|3．cosθ＝a·b|a||b|.4．|a·b|≤|a|·|b|.三、向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.四、平面向量数量积的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝___________.2．设a＝(x，y)，则|a|＝_______.3．若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝__________________，4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________.x1x2＋y1y2x2＋y2x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1y2＝0误区警示1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线．4．若
＝θ，则a在b方向上的投影为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为|b|·cosθ，应注意区分．力OF→在OS→方向上的分力OF→′＝|OF→|cosθ·OS→|OS→|，是与OS→共线的向量，不要和投影|OF→|cosθ相混淆．5．a·b>0和a与b夹角为锐角不等价． 当b＝a≠0时，夹角为0，a·b>0；同样a·b<0不等价于a与b的夹角为钝角．1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．求向量模时，主要利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．[例1]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求AB→·BC→.分析：求数量积时，除记准公式外，关键是找准两向量的夹角．向量的数量积解析： ∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝5，∴cos∠ABC＝513. 〈AB→，BC→〉＝π－∠ABC，∴cos〈AB→，BC→〉＝－cos∠ABC＝－513，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos〈AB→，BC→〉＝13×5×(－513)＝－25.点评：(1)找错向量的夹角是计算数量积时易出现的错误，牢记向量夹角是两个“方向”的夹角．(2)此题也可做如下计算：AB→·BC→＝(AC→＋CB→)·BC→＝AC→·BC→＋CB→·BC→＝0－|BC→|2＝－AB2－AC2＝－25.(文)在△ABC中，已知三边a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，cosB＝34，则AB→·BC→等于()A.32B．－32C．3D．－3解析：由余弦定理得：a2＋c2－b22ac＝34， a＋c＝3，b2＝ac，∴ac＝2，所以AB→·BC→＝－BA→·BC→＝－|ac|·cosB＝－32.答案：B(理)在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA→·AB→等于()A．2B．－2C．2或－2D．与菱形的边长有关解析：AB→＋CA→＝CB→，设菱形边长为a，由|AB→|2＋2AB→·CA→＋|CA→|2＝|CB→|2得a2＋2AB→·CA→＋4＝a2.∴AB→·CA→＝－2.答案：B[例2](文)已知向量a＝(－2,2)，b...
