高考数学总复习第四单元 第三节 导数的应用Ⅱ精品课件VIP专享VIP免费

第三节导数的应用Ⅱ求函数的极值求函数y＝x3－12x的极值．分析首先从方程f′(x)＝0求在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当f′(x)＞0时，x＜－2或x＞2；当f′(x)＜0时，－2＜x＜2.故当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)-2(－2，－2)2(2，+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增16单调递减-16单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值为16；当x＝2时，f(x)有极小值为f(2)＝－16.规律总结求可导函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)＞0，右侧附近f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)＜0，右侧附近f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．变式训练1求函数f(x)＝x2ex的极值．【解析】函数的定义域为R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)-2(－2，0)0(0，+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增4e-2单调递减0单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝4e－2；当x＝0时，f(x)有极小值f(0)＝0.利用函数极值求参数的问题已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，试讨论f(1)和f(－1)是函数的极大值还是极小值．分析本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法．首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值．解f′(x)＝3ax2＋2bx－3.依题意得f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．03230323baba10ab规律总结注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用变式训练2设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b， 函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，∴f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得a＝－3，b＝4.0366031224baba(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈[0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3]时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，∴当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 对于任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9，∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．求函数的最值已知函数f(x)＝2x3－12x，求函数在[－1,3]上的最值．分析通过求导，令f′(x)＝0，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，来求最值．∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞)． f(－1)＝10，f()＝－8，f(3)＝18，∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)＝18，最小值是f()＝－8解2261262xxxxf22列表如下：2222规律总结求可导函数在[a，b]内的最大值和最小值的步骤：(1)求函数f(x)在(a，b)内的极值；(2)求f(x)在区间端点的值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．变式训练3已知函数f(x)＝x－lnx，求f(x)在区间[1，e]上的值域，其中e＝2.71828…是自然对数的底数．【解析】令f′(x)＝0，得x＝1. f(1)＝1，f(x)在(1，＋∞)上递增，∴f(x)max＝f(e)＝e－1.∴f(x)在区间[1，e]上的值域为[1，e－1]．xxf11导数的综合应用(12分)两县城A和B相距20km.现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响...