(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和)5.3数列求和1．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．2．倒序相加(乘)法：如果一个数列满足与首末两项等距离的两项之和(积)为一定值，可采用推导等差数列前n项和的方法进行求和．3．错位相减法：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则数列{anbn}可采用推导等比数列前n项和的方法进行求和．4．裂项相消法：例如若数列{an}为等差数列，d为等差数列的公差，Sn＝+，其中，则Sn采用裂项相消法进行计算．5．常见求和公式12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)·(2n＋1)；13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)]21．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为()答案：B2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于()答案：B3.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于()A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋3－1)D.(8n＋4－1)解析：f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10＝(8n＋4－1)．答案：D4．若数列{an}的通项公式为an＝4n－1，bn＝，则数列{bn}的前n项和是()A．n2B．n(n＋1)C．n(n＋2)D．n(2n＋1)解析：a1＋a2＋…＋an＝＝2n2＋n，则bn＝2n＋1，因此b1＋b2＋…＋bn＝＝n2＋2n.答案：C1.若数列{an}{bn}成等差或等比数列，则可利用公式求数列{an±bn}的前n项和．2.对通项是类似于an＝类型的数列可利用裂项相消法求数列{an}的前n项和．3.若数列{an}成等差，{bn}成等比，可利用错位相差法求数列{anbn}的前n项和．【例1】根据下列数列的通项公式，求数列{an}的前n项和Sn.(1)an＝；(2)an＝n(n＋1)；(3)an＝；(4)an＝n·2n；(5)an＝an(an－1)．(2)an＝n(n＋1)＝n2＋n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)．(4) an＝n·2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋2×22＋…＋n2n，①∴2Sn＝22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1.②①－②得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝2(2n－1)－n2n＋1，∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.(5)①若a＝0，则an＝0，∴Sn＝0.②若a＝1，则an＝0，∴Sn＝0.③若a＝－1，则an＝1－an.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－a)＋(1－a2)＋…＋(1－an)＝n－＝n＋④若a≠0，a≠±1，则an＝an(an－1)＝a2n－an，Sn＝(a2－a)＋(a4－a2)＋…＋(a2n－an)＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)＝等差数列的前n项和公式的推导利用了“倒序相加法”，实际上是推导梯形面积公式的方法．“倒序相加法”适合于到两端等距离两项的和为定值的数列求和问题，比如证明：等．【例2】求在区间内分母是3的所有不可约分数之和，其中区间记为[a，b](a、b为自然数，且a＜b)．解答：解法一：因为数列a，a＋，a＋，a＋1，…，b－，b－，b是首项为a，公差为，末项是b的等差数列，设它有k项，则b＝a＋(k－1)·k＝3(b－a)＋1.∴其和S′＝.而数列a，a＋1，a＋2，…，b－1，b是公差为1的等差数列，设它有m项，则b＝a＋(m－1)，m＝b－a＋1.∴其和S″＝.综上所述，所求分数数列之和是：两式相加，得2S＝(a＋b)＋(a＋b)…＋＋(a＋b)，S＝b2－a2.变式2.函数f(x)＝(m＞0)，x1、x2∈R，当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.(1)求m的值；(2)已知数列{an}满足an＝f(0)＋，求an；(3)若Sn＝a1＋a2＋…＋an，求Sn.(1)若数列{an}为等差数列，且a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值．(2)若数列{an}为等差数列，且a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．【例3】在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项的和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.解答：a16＋a17＋a18＝3a17＝－36⇒a17＝－12.又a9＝－36，∴公差d＝＝3.首项a1＝a9－8d＝－60，∴an＝3n－63.(1)解法一：设前n项的和Sn最小，则⇒n＝20或21.这表明：当n＝20或21时，Sn取最小值，最小值为S20＝S21＝－630.解法二：Sn＝－60n＋ n∈N*，∴当n＝20或21时，Sn取最小值(202－41×20)＝－630.(2)由an＝3n－63≤0⇒n≤21，∴当n≤21时，Tn＝－Sn＝(41n－n2)；当n＞21时，Tn＝－a1－a2…－－a21＋a22…＋＋an＝Sn－2S21＝(n2－41n)＋1260.变式3...
