江苏省高考数学二轮复习 专题18 基本不等式的应用精品课件VIP专享VIP免费

专题十八基本不等式的应用专题十八基本不等式的应用专题十八基本不等式的应用主干知识整合专题十八│主干知识整合1．基本不等式如果a≥0，b≥0，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式的常见变形∀x∈R＋，x＋1x≥2；∀a，b∈R＋，ab＋ba≥2.∀a，b∈R，ab≤a＋b22≤a2＋b22；∀a，b∈R＋，ab≤a＋b2≤a2＋b22.专题十八│主干知识整合3．极值定理已知x、y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2S；(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值P24；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件：①各项均为正；②积或和为定值；③各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”．要点热点探究专题十八│要点热点探究►探究点一用基本不等式求最值利用基本不等式求最值，主要指的是利用极值定理来求解．常见基本不等式模型为若ax>0，bx>0，则ax＋bx≥2ab.专题十八│要点热点探究例1(1)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．(2)不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．专题十八│要点热点探究(1)7(2)2【解析】(1)由log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，得(m－2)(n－1)＝4，则m＝4n－1＋2，所以m＋n＝4n－1＋2＋n＝4n－1＋(n－1)＋3≥24＋3＝7(当且仅当“n＝3”时，取等号)，故m＋n的最小值为7.(2)因为要求λ的最大值，所以只需要考查b(a＋b)>0的情况．假设b(a＋b)>0，所以由a2＋3b2≥λb(a＋b)⇒λ≤a2＋3b2ab＋b2＝ab2＋3ab＋1，设ab＝t>0，设h(t)＝t2＋3t＋1＝t＋12－2t＋1＋4t＋1＝(t＋1)＋4t＋1－2≥2t＋1·4t＋1－2＝2(当t＝1时取等号)．∴h(t)的最小值为2，故λ的最大值为2.专题十八│要点热点探究【点评】(1)本题所给条件中f(m)＋f(2n)＝3是提供m，n之间的关系，然后代入消元后，转化为y＝ax＋bx类型的问题进行研究，其中要注意的是4n－1＋2不可以直接用基本不等式求最小值，应该先构造“积”定．(2)本题不同于上一题的代入消元，而是运用了整体思想将a2＋3b2ab＋b2化成ab2＋3ab＋1，再换元后变成(t＋1)＋4t＋1－2，利用基本不等式求最值．专题十八│要点热点探究[2010·四川卷]设a>b>0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是________．4【解析】原式＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝ab＋1ab＋a(a－b)＋1aa－b≥2＋2＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝2，b＝22满足条件．专题十八│要点热点探究►探究点二多元问题处理多元问题在处理时方法有三种：一是消元；二是整体思想；三是运用极端假设法去掉某些元素，最终实现减少变元的目的．例2若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则xy＋zt的最小值为________．专题十八│要点热点探究150【解析】欲使xy＋zt值越小，必须使分子x最小，分母t最大，从而取x＝1，t＝10000，得xy＋zt＝1y＋z10000≥2z10000y＝150zy≥150，所以最小值为150.【点评】本题含有四个变量，只有通过极端原理，将其中两个变量确定后，再由基本不等式求最小值．对未知数的认识，可以是一个字母，也可以是一个整式．专题十八│要点热点探究若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．4【解析】由题意，(a＋b)(a＋c)＝4，(a＋b)＋(a＋c)≥2a＋b·a＋c＝4.专题十八│要点热点探究例3心理学家研究某位学生的学习情况后发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t>0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为at＋42(a<0)，存留量随时间变化的曲线如图18－1所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a＝－1，t＝5，求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．图18－1专题十八│要点热点探究【解答】设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意知，y...