第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图像学习目标1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数和的图像，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题.重点：余弦函数的图像和性质.难点：余弦函数的图像和性质的综合应用.知识梳理一、余弦函数的定义与性质因为对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数.1.余弦函数的定义由可知，的性质与图像和正弦型函数的相同，由此可得余弦函数的性质（如下表所示）.尝试与发现研究余弦函数的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质.2.余弦函数的性质定义域值域最值周期性单调性奇偶性零点［−1，1］𝐑当x＝π+2kπ（k∈）时，ymin＝-1周期函数，最小正周期为2π在区间［-π+2kπ，2kπ］（k∈）上递增；在区间［2kπ，π+2kπ］（k∈）上递减偶函数（）当x＝2kπ（k∈）时，ymax＝1；二、余弦函数的图像函数的图像称为余弦曲线.由，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到，𝜋2如图所示.正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只是位置不同.由余弦曲线可以看出，其对称轴为（k∈），对称中心为（k∈）.说明：与正弦曲线类似，余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，即此时的余弦值为最大值或最小值，余弦曲线的对称中心为余弦曲线与轴的交点，其纵坐标.【点拨】“五点法”画余弦函数图像类比学习正弦函数图像的方法，观察余弦曲线，可知在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图像上，起关键作用的五个点是它与x轴的交点和函数取得最大值、最小值的点.它们的坐标依次为（0，1），，（π，-1），，（2π，1），用光滑曲线顺次将它们连接起来就可得到函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.常考题型一、余弦函数的性质——定义域、值域1.利用余弦函数的值域求参数例1［2019·江西宜春第三中学期中］若cosx＝2m-1，且x∈R，则m的取值范围是（）A.（-∞，1］B.［0，+∞）C.［-1，0］D.［0，1］【解析】 ，，即，解得，故的取值范围是［0，1］.【答案】D2.利用余弦函数的值域，求复合函数的最值、值域问题例2求下列函数的值域：（1）y＝3+223cosx；（2）y＝223cosx，x∈,66；（3）y＝cos2x-4cosx+1，x∈2,33；（4）y＝22cosxcosx.【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；（3）利用二次函数的性质求解；（4）先分离常数或反解出cosx，再利用-1≤cosx≤1求解.【解】（1） -1≤23cosx≤1，∴-2≤223cosx≤2，∴1≤3+223cosx≤5.故y＝3+223cosx的值域是［1，5］.（2） -6
