2．5向量的应用学习目标1.能初步应用平面向量的知识、方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题；2．体会向量是处理数学问题、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练2.5向量的应用课前自主学案温故夯基1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x＝___.2．有四个式子：①0a＝0；②0·a＝0；③0－AB→＝BA→；④|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为___.3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋kb，则l＝____，k＝_____.12110－123知新益能1．用向量解决几何问题(1)建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等．(3)将运算结果“转译”成几何关系．2．用向量解决物理问题或实际生活问题(1)从所给问题中抽象出数学问题．(2)将数学问题转化为向量问题，并用向量方法解决数学问题．(3)再用所获得的结果解释物理现象或实际生活问题．课堂互动讲练考点突破向量在平面几何中的应用利用向量证明平面几何的问题十分常见，在证明时，一般需先将平面图形中的边用对应向量表示，再利用向量的运算与性质进行证明．例例11如图所示，已知▱ABCD中，E、F在对角线BD上，且BE＝FD.求证：四边形AECF是平行四边形．【思路点拨】设AB→＝DC→＝a，BE→＝FD→＝b→表示AE→，FC→→AE→＝FC→→四边形AECF是平行四边形【证明】由已知可设AB→＝DC→＝a，BE→＝FD→＝b，故AE→＝AB→＋BE→＝a＋b，FC→＝FD→＋DC→＝b＋a.又a＋b＝b＋a，则AE→＝FC→，即AE綊FC，故四边形AECF是平行四边形．【名师点评】(1)利用向量的关系证明问题：通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．(2)平面向量在坐标表示下的应用：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．实现向量的坐标化，有时是不容易做到的．互动探究1如图，将▱ABCD改为△ABC，且D是△ABC内的一点，AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC.证明：由题图知AB→＝a，AC→＝b，AD→＝e，DB→＝c，DC→＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0. BC→＝BD→＋DC→＝d－c，∴AD→·BC→＝e·(d－c)＝0，∴AD→⊥BC→，即AD⊥BC.向量在平面解析几何中的应用在解析几何中，向量既可以作为条件，也可以作为结论，又可以作为一种解题方法，利用向量可以处理解析几何中的平行、垂直、夹角、点共线、轨迹等问题．借助向量的坐标表示实现几何问题代数化，运用代数运算实现问题的求解，使数与形得到有机的统一．(本题满分14分)已知A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若使四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值．例例22【思路点拨】(1)要证AB⊥AD，只需证AB→·AD→＝0即可．(2)在AB⊥AD的前提下，只需寻求一点C满足AD→＝BC→.而两对角线所成锐角的余弦值，可由向量夹角公式得到．【规范解答】(1)证明： A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)，4分∴AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.6分(2)设点C的坐标为(x，y)． 四边形ABCD为矩形，∴AD→＝BC→，∴(－3,3)＝(x－3，y－2)，8分∴x－3＝－3，y－2＝3，解得x＝0，y＝5.10分∴点C的坐标为(0,5)，∴AC→＝(－2,4)． BD→＝(－4,2)，∴AC→·BD→＝(－4)×(－2)＋2×4＝16. |AC→|＝25，|BD→|＝25，12分∴AC→与BD→的夹角θ的余弦值为AC→·BD→|AC→||BD→|＝1625×25＝45.故该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值为45.14分【名师点评】(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识...
