第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等比数列的定义：如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列就叫做等比数列．2．等比数列的通项公式：___________.3．指数函数y＝ax，当a＞1时，单调递增，0＜a＜1时，单调递减．第2项同一个常数an＝a1qn－1知新益能1．等比数列的性质(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个___________m，所得数列仍是等比数列，公比仍为q；(2)若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am·an＝_____；(3)若等比数列{an}的公比为q，则{1an}是以1q为公比的等比数列；(4)在等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成等比数列；不为零的数ap·aq(5)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}，{anbn}也为等比数列；(6)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为___；(7)a1>0q>1或a1<00001⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数数列；q<0⇔{an}为摆动数列．qm思考感悟如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，那么am·an＝a2k是否成立？反之呢？提示：am·an＝a2k成立，反之不一定成立，例如：在等比数列an＝1中，m，n，k可以取任意正整数，而不一定有m＋n＝2k.2．通项公式的应用由等比数列的通项公式可知，当已知a1、q、n、an其中三个，便可通过建立方程或方程组求出另一个，这是解这类问题的基本思想方法．但对于具体情景，则应具体观察和分析找到较为简洁的解题方法，如________，____________的运用．同时还应注意等比数列定义的运用，整体思想设而不求思想即q＝a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1.3．等比数列的应用三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq，公比为q；四个数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3，公比为q2，注意对称设法(注：因为q2>0，所以只限于四数同号的情况)．在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求：a41·a42·a43·a44.课堂互动讲练等比数列性质的应用考点突破例例11【解】由等比数列的性质可知依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8，∴q＝2，∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.【点评】这类问题的解答，如果采用直接法计算，有时计算量会很大，甚至会半途而废，运用等比数列的性质，会简化运算过程．自我挑战1在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.解析：由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512a3＋a8＝124，得a3＝－4a8＝128，或a3＝128a8＝－4，(q为整数，舍去)．∴q＝5a8a3＝－2，∴a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.答案：512三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．【分析】根据等差或等比数列的关系设元列式求解．等差、等比数列的综合应用例例22【解】法一：设三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝5122a＝aq－2＋aq－2，解得a＝8q＝2或a＝8q＝12，所以所求三数依次为4,8,16或16,8,4.法二：设成等差数列的三个数为a－d，a，a＋d，则要求三个数为a－d＋2，a，a＋d＋2，则a－d＋2a＋d＋2＝a2a－d＋2·a·a＋d＋2＝512，解得a＝8d＝6或a＝8d＝－6，则所求三个数依次为4,8,16或16,8,4.【点评】解决已知三个或四个数成等差、等比数列这类问题时，要善于巧妙设元，来减少运算量．当已知三数成等比数列且积一定时，常设这三数为aq，a，aq；若四数成等比数列，公比为正且积一定，可设为aq3，aq，aq，aq3.自我挑战2(1)有四个实数：前三个数依次成等比，它们的积是－8；后三个数依次成等差,它们的积为－80，求出这四个数；(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．解：(1)由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则有b3＝－8，2bq＝a＋b，ab2q...
