3．2.3空间的角的计算学习目标1.理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．3．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．课堂互动讲练知能优化训练3．2.3课前自主学案课前自主学案温故夯基1．异面直线所成的角：过空间任意一点O，作两异面直线a、b的平行线a′、b′，则a′、b′所成的角便是异面直线a、b所成的角，范围是___________．(0°，90°]2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的____，叫做这条直线和平面所成的角．3．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，该直线叫二面角的棱，两个半平面称为二面角的面．锐角1．两条异面直线所成的角已知直线AB、CD异面，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为|cos〈AB→，CD→〉|＝________.|AB→·CD→||AB→||CD→|知新益能2．直线与平面所成的角如图，设直线AB与平面α所成的角为θ，n为平面α的法向量，sinθ＝|cos〈AB→，n〉|＝_________.|AB→·n||AB→||n|3．平面与平面所成的角若n1、n2分别为平面α、β的法向量，则二面角α－l－β的平面角为〈n1，n2〉(如图(1))或π－〈n1，n2〉(如图(2))，且cos〈n1，n2〉＝_________.n1·n2|n1||n2|怎样用向量法求直线与平面的夹角？提示：(1)建系，求出有关点的坐标；(2)求直线的方向向量s及平面的法向量n；(3)计算cos〈s，n〉；(4)设直线与平面的夹角θ，由sinθ＝|cos〈s，n〉|，求出角θ.问题探究课堂互动讲练考点突破求两条异面直线所成的角取两异面直线的方向向量，用向量夹角公式求解．解题时若求出的向量夹角为钝角，则异面直线所成的角为其补角；若求出的向量夹角为锐角或直角，则可以直接表示异面直线所成的角．如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．例1【思路点拨】建立恰当的空间直角坐标系→求A1、B、A、O1的坐标→计算O1A→，A1B→→计算cos〈A1B→，O1A→〉→验证得结论【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0,2,0)，∴A1B→＝OB→－OA1→＝(－3，1，－3)．O1A→＝OA→－OO1→＝(3，－1，－3)．∴cos〈A1B→，O1A→〉＝A1B→·O1A→|A1B→||O1A→|＝－3，1，－3·3，－1，－37·7＝－17.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17.【名师点评】建空间直角坐标系时，要充分利用题目中的垂直关系以方便求点的坐标，本题的建系是关键．另外用向量法求异面直线的夹角问题比用几何法求解更简便，但要注意夹角的范围．取直线的方向向量和平面的法向量，用向量的夹角公式求出这个角．若该角为锐角或直角，则它的余角就是直线与平面所成的角；若该角为钝角，则它的补角的余角为直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值．例2【思路点拨】可根据定义找出线面角然后求解，也可根据BE→与平面B1BD的法向量夹角求解．【解】法一：如图所示，连结AC交BD于O，设B1D的中点为O′，连结EO′、OO′、O′B，则O′O12BB1CE.∴四边形OCEO′为平行四边形．∴EO′∥CO.//// CO⊥BD，CO⊥BB1，DB∩BB1＝B，∴CO⊥平面B1BD，∴EO′⊥平面B1BD.∴∠EBO′是BE与平面B1BD所成的角．设正方体棱长为2，则O′E＝OC＝2，BE＝BC2＋CE2＝5，BO′＝3.∴cos∠EBO′＝BO′BE＝155，即BE与平面B1BD所成角的余弦值为155.法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，BD→＝(－2，－2,0)，BB1→＝(0,0,2)，BE→＝(－2,0,1)．设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)， n⊥BD→，n⊥BB1→，∴n·BD→＝－2x－2y＝0，n·BB1→＝2z＝0，∴x＝－y，z＝0.令y＝1，则n＝(－1,1,0)，cos〈n，BE→〉＝n·BE→|n||BE→|＝105.设BE与平面B1BD所成角为θ，则cosθ＝sin〈n，BE→〉＝155，即BE与平面B1BD所成角的余弦值为155.【名师点评】用向量法可避开找角的困难，但计算时要准确，同时还要注意线面角与直线的方向向量与平面的法...
