第八章圆锥曲线方程第讲(第一课时)考点搜索●直线与圆锥曲线公共点的个数的判定●弦长公式,中点弦、焦点弦●直线与圆锥曲线的方程及其几何性质高考猜想1.通过直线与圆锥曲线的位置关系,求曲线的方程.2.根据直线与圆锥曲线的位置关系研究有关性质.1.设直线l的方程为:Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.由消去x(或y).如消去y后得ax2+bx+c=0(注意:若f(x,y)=0表示椭圆,则方程中a≠0),为此有:(1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线____________;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴____________.0(,)0AxByCfxy平行或重合平行或重合(2)若a≠0,Δ=b2-4ac.当Δ>0时,直线与圆锥曲线_______;当Δ=0时,直线与圆锥曲线_______;当Δ<0时,直线与圆锥曲线_______.2.直线与双曲线(或抛物线)有且只有一个公共点,是直线与双曲线(或抛物线)相切的____________条件;直线与椭圆有且只有一个公共点,是直线与椭圆相切的______条件.3.设直线与圆锥曲线相交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则相交相切相离必要非充分充要(1)|P1P2|=___________________.⑧(2)当直线方程写成y=kx+b(kR)∈形式时,其弦长用x1、x2表示为:|P1P2|=___________;用y1、y2表示为:|P1P2|=_____________.(3)若弦过焦点,可用____________来表示弦长,简化运算.焦半径之和221212(-)(-)xxyy2121|-|kxx12211|-|yyk4.设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,点M(x0,y0)为弦AB的中点,直线l的斜率为k,则当曲线C为椭圆(a>b>0)时,k=________;当曲线C为双曲线(a>0,b>0)时,k=________;当曲线C为抛物线y2=2px(p≠0)时,k=____.22221xyab2222-1xyab2020-xbay2020xbay0py1.已知双曲线C:过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解:数形结合法,与渐近线平行、与抛物线相切,选D.D22-1,4yx2.已知对kR,∈直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)(5∪,+∞)D.[1,5)解:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点.所以≤1且m>0,m≠5得m≥1且m≠5.故选C.C2215xym1m3.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=8,O为坐标原点,则△OAB的重心的横坐标为___.解:由题意知抛物线焦点为F(1,0).易知x=1,不满足|AB|=8,所以设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程代入抛物线方程消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.2因为k2≠0,所以x1x2=1.因为所以k2=1.所以△OAB的重心的横坐标为21222(2),kxxk2212221212224||(1)(-)(1)[()-4]4(2)(1)[-4]8,2ABkxxkxxxxkkk1202.3xxx1.已知直线l的一个方向向量为(1,tanα),且过点(-,0),l交椭圆x2+9y2=9于A、B两点,若α为l的倾斜角,且|AB|的长不小于短轴的长,求α的取值范围.解:依题意l的方程为y=tanα(x+).题型1圆锥曲线的弦长问题2222将l的方程与椭圆的方程联立,消去y,得则所以由|AB|≥2,得所以所以α的取值范围是2222(19tan)362tan72tan-90,xx22121222-362tan72tan-9,,19tan19tanxxxx22122212122||1tan|-|6tan61tan()-4.19tanABxxxxxx21tan,333-tan.335[0,][,).66点评:求解关于弦长问题的主要步骤是:联立方程组,消去一个未知数,得到一元二次方程,然后由韦达定理将弦长转化为方程系数的式子,便获得所求问题的解.本题由于l的方程由tanα给出,所以可以认定α≠,否则涉及弦长计算时,还应讨论α=时的情况.22设直线l过双曲线的一个焦点,交双曲线于A、B两点,O为坐标原点.若求|AB|的值.解:不妨设直线AB过右焦点F(2,0),其斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-2).代入双曲线方程,得3x2-k2(x-2)2=3,即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则22-13yx0,OAOB�22121222443,,-3-3kkxxxxkk从而y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=因为即x1x2+y1y2=0,所以解得此时Δ=16k4+4(3-k2)(4k2...