第37讲数列模型及数列的综合应用【学习目标】1．会利用数列的函数性解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【基础检测】1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()A．24B．32C．48D．64D【解析】依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得an＋2an＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.2．设Mcosπ3x＋cosπ4x，sinπ3x＋sinπ4x(x∈R)为坐标平面上一点，记f(x)＝|OM→|2－2，且f(x)的图象与射线y＝0(x≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{an}，则|an＋3－an|＝()A．24πB．36πC．24D．36D【解析】f(x)＝|OM→|2－2＝cosπ3x＋cosπ4x2＋sinπ3x＋sinπ42－2＝2cosπ12x，令f(x)＝2cosπ12x＝0.∴π12x＝kπ＋π2，x＝12k＋6.∴an＝12n＋6(n∈N*)．∴|an＋3－an|＝|12(n＋3)＋6－(12n＋6)|＝36.3．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝____．n·2n【解析】令x＝2，y＝2n－1，则f(x·y)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1a1，即an＝2an－1＋2n，an2n＝an－12n－1＋1，所以数列an2n为等差数列，由此可得an＝n·2n.4．在数列{an}中，若a2n－a2n＋1＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是“等方差数列”，则{a2n}是等差数列；②{(－1)n}是“等方差数列”；③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列”．其中真命题的序号为____．(将所有真命题的序号填在横线上)①②③【解析】①正确，因为a2n－a2n＋1＝p，所以a2n＋1－a2n＝－p，于是数列{a2n}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为“等方差数列”．③正确，因为a2kn－a2kn＋k＝(a2kn－a2kn＋1)＋(a2kn＋1－a2kn＋2)＋(a2kn＋2－a2kn＋3)＋…＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列”．【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．2．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数学应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．一、数列模型应用题例1某生物能源有限公司自2010年以来投入大量科研经费用于沙漠绿化和生物能源转化的科学研究，到2014年该公司的研究技术全球领先，为将科学技术转化为生产力，该公司自2014年起开发新疆的某沙漠地带，同时于2014年前已成功地将该地带的沙漠绿化了0.5千万亩，若自2014年(2014年为第1年)起的第n年的新增绿化面积为an(单位：千万亩)，依据该公司的绿化沙漠技术测算可知，{an}的前n项和Sn近似地满足：Sn＝n2an－n(n－1)(n＝1，2，3，…)．(1)试用你所学数学知识计算Sn关于n的表达...
