专题七概率与统计、算法初步、复数§1排列、组合和二项式定理真题热身1．(2011·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C24种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也有2种不同的选法，故共有N＝C24×2×2＝24(种)不同的选法．B2．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．143．(2011·大纲全国)(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．解析 Tr＋1＝∴x与x9的系数分别为C220与C1820.又 C220＝C1820，∴C220－C1820＝0.01222020C()(1)Crrrxrrx考点整合1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．2．排列、组合(1)排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Amn＝n！(n－m)！，Ann＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)组合数公式及性质Cmn＝AmnAmm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，Cmn＝n！m！(n－m)！，C0m＝1，Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.(3)应用题①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.②二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n＝(1＋2)n＝C0n＋C1n·21＋C2n·22＋…＋Cnn·2n等．分类突破一、两个计数原理的应用例1如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1
