知识梳理典例变式基础训练能力提升第13讲等差数列与等比数列知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为𝑎𝑛+1-an=d(n∈N*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=𝑎+𝑏2,其中A叫做a,b的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{𝑎2𝑛}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,𝑎𝑘+𝑚,𝑎𝑘+2𝑚,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(5)若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列{pan},{an+p},{pan+qbn}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.等差数列前n项和的性质(1)数列Sm,𝑆2𝑚-Sm,𝑆3𝑚−𝑆2𝑚,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.(2)𝑆2𝑛-1=(2n-1)an,𝑆2𝑛=n(a1+𝑎2𝑛)=n(an+𝑎𝑛+1).(3)当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).(4){an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛-1𝑇2𝑛-1.(5)若{an}是等差数列,则ቄ𝑆𝑛𝑛ቅ也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的12d.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an},an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2𝑎𝑛-1=an+𝑎𝑛-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q.(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2=ab.7.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1𝑞𝑛-1.(2)前n项和公式:Sn=൝𝑛𝑎1,𝑞=1,𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞,𝑞≠1.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理8.运用方程的思想求解等比数列的基本量(1)若已知n,an,Sn,先验证q=1是否成立,若q≠1,可以通过列方程(组)൝𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛-1,𝑆𝑛=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,求出关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)若已知数列{an}中的两项an和am,可以利用等比数列的通项公式,得到方程组൜𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛-1,𝑎𝑚=𝑎1𝑞𝑚-1,计算时两式相除可先求出q,然后代入其中一式求得a1,进一步求得Sn.另外,还可以利用公式an=am·𝑞𝑛-𝑚直接求得q,可减少运算量.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理9.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=am·𝑞𝑛-𝑚(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=𝑎𝑘2.(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},ቄ1𝑎𝑛ቅ,{𝑎𝑛2},{an·bn},ቄ𝑎𝑛𝑏𝑛ቅ(λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,𝑎𝑛+𝑘,𝑎𝑛+2𝑘,𝑎𝑛+3𝑘,…为等比数列,公比为qk.(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,𝑆2𝑛-Sn,𝑆3𝑛−𝑆2𝑛仍成等比数列,其公比为qn.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理10.等比数列的四种常用判定方法定义法若an+1an=q(q为非零常数,n∈N*)或𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中,an≠0且𝑎𝑛+12=an·𝑎𝑛+2(n∈N*),则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an=c·𝑞𝑛-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k...
