3．1.3空间向量基本定理学习目标1.理解空间向量基本定理．2．理解基底、基向量的概念，能正确选择合适基底表示空间向量．课堂互动讲练知能优化训练3．1.3课前自主学案课前自主学案温故夯基1．平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么对平面内任一向量p，存在_____的有序实数对(x，y)，使p＝_______.2．平面内的任意一个向量p都可以用_____________________来表示(平面向量基本定理)．惟一xa＋yb两个不共线的向量a，b1．空间向量基本定理：如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的___________________，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3____表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个____，e1、e2、e3叫做______．知新益能有序实数组(x，y，z)线性基底基向量3．如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂直的，那么这个基底叫做__________．4．设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在_____的有序实数组{x，y，z}，使得____________________.正交基底惟一OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→空间的基底是惟一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一．问题探究课堂互动讲练考点突破基底的概念构成空间一个基底的充要条件是三个向量不共面．因此要证明三个向量不共面，通常用反证法．(本题满分14分)已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OP→＝2e1－e2＋3e3，OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，能否以{OA→，OB→，OC→}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP→.例1【思路点拨】可先用反证法，判断OA→，OB→，OC→是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．【规范解答】假设OA→，OB→，OC→共面，据向量共面的充要条件有：OA→＝xOB→＋yOC→，2分则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1.此方程组无解.6分∴OA→，OB→，OC→不共面.8分∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．设OP→＝mOA→＋nOB→＋zOC→，有：2e1－e2＋3e3＝m(e1＋2e2－e3)＋n(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(m－3n＋z)e1＋(2m＋n＋z)e2＋(－m＋2n－z)e3.∴m－3n＋z＝2，2m＋n＋z＝－1，－m＋2n－z＝3.12分∴m＝17，n＝－5，z＝－30.∴OP→＝17OA→－5OB→－30OC→.14分【名师点评】判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断．自我挑战1若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. {a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．利用数形结合的思想方法，将需要表示的向量用与其相关联的其他向量表示，充分利用三角形法则或平行四边形法则，直至转化为只用基向量表示．利用基底表示其他向量已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC→成定比2，N分PD→成定比1，求满足MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→的实数x、y、z的值．例2【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD为矩形．②PA⊥面ABCD.③M、N分别为PC→、PD→的定比分点．解答本题应结合图形，从向量MN→出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB→、AD→、AP→表示出来，即可求出x、y、z的值．【解】法一：如图所示，取PC的中点E，连结NE、AC，则MN→＝EN→－EM→. EN→＝12CD→＝12BA→＝－12AB→，EM→＝PM→－PE→＝23PC→－12PC→＝16PC→，又PC→＝AC→－AP→＝AB→＋AD→－AP→，∴MN→＝－12AB→－16(AB→＋AD→－A...
