第3讲平面向量要点知识整合1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.题型一题型一平面向量的线性运算热点突破探究典例精析典例精析例例11如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．【解析】法一：如图，OC→＝OB1→＋OA1→，|OB1→|＝2，|OA1→|＝|B1C→|＝4，∴OC→＝4OA→＋2OB→.∴λ＋μ＝6.法二：由OC→＝λOA→＋μOB→，两边点乘OC→，得OC→2＝λOA→·OC→＋0，∴λ＝4.∴OC→＝4OA→＋μOB→，两边点乘OA→，得OC→·OA→＝4＋μOA→·OB→，即3＝4＋μ(－12)．∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.【答案】6【题后拓展】共起点的不共线向量OA→，OB→，OC→，模已知，两两夹角已知，则可用任两向量为基底表示第三向量：(1)定义法：如本例，把OC→分解到OB→，OA→上，解三角形求得|OB1→|，|OA1→|即可．(2)待定系数法：在向量等式的两边点乘任一向量，构造关于λ，μ的实系数方程组得解．变式训练变式训练1．(2010年高考四川卷)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．8B．4C．2D．1解析：选C. BC→2＝16，∴|BC→|＝4.又|AB→－AC→|＝|CB→|＝4，∴|AB→＋AC→|＝4. M为BC中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∴|AM→|＝12|AB→＋AC→|＝2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，求△ABC的面积．题型二题型二平面向量的数量积例例22【解】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61， |a|＝4，|b|＝3，代入上式得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→||AB→|sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.【思维升华】(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a·(b·c)≠(a·b)·c.变式训练变式训练2．已知平面内三个向量：a＝(3,12)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1) a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,12)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝12，解得m＝5，n＝2.所以实数m，n的值分别为5,2.(2) a＋kc＝(3,12)＋k(4,1)＝(4k＋3，k＋12)，2b－a＝(－2,4)－(3,12)＝(－5，－8)，又(a＋kc)∥(2b－a)，∴－8(4k＋3)＋5(k＋12)＝0，∴k＝43.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．题型三题型三平面向量与三角函数例例33【解】(1)法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． －1≤cosβ≤1.∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二： |b|＝1，|c|...
