第2讲空间中的平行与垂直感悟高考明确考向(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解 EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2.VB－DEF＝13×12×1×2×2＝13.考题分析本题主要考查空间线面关系，线面平行的判定和线面垂直的判定．考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题突出考查立体几何的基本知识和思想方法以及考生推理论证的能力．易错提醒(1)不能准确运用线面平行的判定定理，易漏掉条件：FH⊄平面EDB.(2)线面关系的转化运用不熟练，如要证AC⊥平面DEB，可转化为证明AC⊥BD，AC⊥EG.(3)不能正确确定三棱锥的底面和高．(4)书写解题过程混乱，条件不充分，表达不规范．主干知识梳理1．点、线、面的位置关系(1)公理1 A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2 A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(3)公理3 P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.(4)公理4 a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理 OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理 a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理 a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.热点分类突破题型一线线、线面的平行与垂直例1如图所示，正三棱柱A1B1C1—ABC中，点D是BC的中点，BC＝2BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.思维启迪本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．证明(1)连结A1B，设A1B与AB1交于E，连结DE. 点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C， A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2) △ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC. 平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1， BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. 点D是BC的中点，BC＝2BB1，∴BD＝22BB1. BDBB1＝CC1BC＝22，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.∴∠BDB1＝∠BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.∴BC1⊥B1D. B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.探究提高线面平行、线面垂直的证明是立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包括思路分析、方法确认，书写表达规范．新课标考试说明对立体几何的要求有所降低，这只是在知识应用方面有所降低，但是表达规范性上提出了更高的要求，一定要推理充分，论证有力，思路清晰，逻辑严密．变式训练1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.求证：(1)PA∥平面BDE；(2)AC⊥平面PBD.证明（1）设AC∩BD＝H，连结EH，在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC...
