学案学案55数列的应用数列的应用返回目录一、等差、等比数列的性质1.若{an},{bn}皆为等差数列，则{kan+b},{an+bn}分别是和数列.2.若{an}为等差数列，m,n,p,qN*∈，且m+n=p+q，则ap+aqam+an;若2m=p+q,则2amap+aq.等差等差==返回目录3.若{an}为等差数列，公差为d，则am,am+n,am+2n,am+3n,…为数列，公差为.4.若{an}为等差数列，Sn,S2n,S3n为其前n项，2n项，3n项的和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.5.若{an},{bn}为等比数列，则{}，{an,bn},{kan}(k≠0)都为数列.6.若{an}为等比数列，m,n,p,qN*∈，且m+n=p+q，则amanapaq,若2m=p+q，则apaq.7.若{an}为等比数列（公比q≠-1），Sn为其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.等差nd2mana1等差等比==等比二、数列综合应用题的解题步骤1.审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.2.分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.3.求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.返回目录8.若{an}为等比数列，则am,am+t,am+2t,am+3t,…为数列.等比具体解题步骤如下框图:返回目录返回目录三、数列应用题常见模型1.银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr).2.银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=a(1+r)x.3.产值模型原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x.4.分期付款模型a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则.1-r)(1ar)r(1bnn++=返回目录已知{an}为等比数列，a3=2,a2+a4=.求{an}的通项公式.【分析】【分析】根据等比数列的定义及通项公式求解.考点一等差、等比数列性质的应用考点一等差、等比数列性质的应用320返回目录【解析】【解析】解法一：设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=,a4=a3q=2q,∴+2q=,解得q=或3.当q=时，a1=18,∴an=18×（）n-1==2×33-n.当q=3时，a1=,∴an=×3n-1=2×3n-3.q2qa3=q2320313131-1n3189292解法二：由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4=,则a2,a4为方程x2-x+4=0的两根,a2=a2=6a4=6或a4=.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时,q=,a2=2×33-n.an=2×3n-3或an=2×33-n.返回目录3203203232解得{3231返回目录【评析】【评析】等比数列性质an=amqn-m,am·an=ap·aq(p+q=m+n,m,n,p,qN*)∈是常用公式,注意应用.＊对应演练＊＊对应演练＊若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知求的值.返回目录,3n7nTSnn+=55ba解法一:解法二: 可令Sn=7n·kn=7kn2,Tn=kn(n+3),∴a5=S5-S4=7k·52-7k·42=63k,b5=T5-T4=k·5(5+3)-k·4(4+3)=12k,∴返回目录.421TS)(b29)a(a29bbaa2b2aba99919191915555==++=++==b,3n7nTSnn+=42112k63kba55==返回目录解法三解法三: ∴即a1=b1,①又即10a1+5d1=28b1+14d2,②即2a1+2d1=7b1+7d2,③由①②③解得b1=a1,d1=2a1,d2=a1,∴.47TSba1111==,3n7nTSnn+=47514TSd2bd2abbaa2221112121==++=++,27TSdbdad2233bd3233abbbaaa3321112111321321==++=×+×+=++++又7472.421a724a742a4a4db4daba1111211155=×+×+=++=返回目录设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（nN*∈）是等差数列，{bn-2}是等比数列，求{an}和{bn}的通项公式.【分析】【分析】由题意，先求出an+1-an，用累加法求{an}的通项公式，同理求bn.考点二等差数列、等比数列的综合应用考点二等差数列、等比数列的综合应用【【解析解析】】由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1，d=-1-（-2）=1，∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)d=-2+(n-1)×1=n-3,∴an-an-1=n-4(n≥2),an-1-an-2=(n-1)-4,…a3-a2=3-4,a2-a1=2-4.以上各式左右分别相加得an-a1=［2+3+…+(n-1)+n］-4(n-1)=-1-4n+4.返回目录21)n(n+∴an=(n2-7n+18)(n≥2).当n=1时，也适合上式.∴an=（n2-7n+18）.又b1-2=4，b2-2=2，∴q=.∴bn-2=4×()n-1.∴bn=2+(nN*).∈21212121n28返回目录返回目录【评析】【评析】首先利用迭加法求出等差数列的通项公式，再求等比数列的通项公式.由于题目已告诉{bn-2}是等比数列，故可由b1-2=4...
