第2课时等差数列的性质1.理解等差数列、等差中项的概念,会用定义判定一个数列是否是等差数列;(重点)2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用;(难点)3.掌握等差数列的有关性质.N(一)等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等差数等于同一个常数,那么这个数列就做列叫*1.()nnaadn(二)等差中项的概念由三个数,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,叫做与的等差中项.aAbAab(三)等差数列的通项公式推导方法:迭加法.推广的通项公式:.1(1)()nnmaandaanmdN等差数列的性质在等差数列中,若则特别地:若则思考:若,则成立吗?*1.,,,,,,2,2.33nmnpqmnppqnmamnpqmnpqaaaamnpaaapqnmaaaa答:成立若是公差为的等差数列则和也是等差数列.2212.,nnnadaa思考:在上述两个数列中,首项和公差各是多少?数列的首项是公差是数列结论项差:的首是公是22211,2;,2.nnaadaad例1某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.令表示km处的车费,公差d=.2:.那么解111.2,41naa当出租车行至处时,,此时需要支付车费(元).答:需要支付车费元.1114km1111.2(111)1.223.223.2na1方法技巧.建立等差数列的数学模型;2.解得模型的结果.例2已知数列的通项公式为,其中,为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?napnqpqna判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看是不是一个与无关的常数分析:.11nnnaaann11(1)1().nnnnnnaaanaapnqpnqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与,求差得-=它是一个与解无:关的常数.所以是等差数列.证明等差数列的方法:1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.例3梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽.解:由题意知,建立一个等差数列{an}来计算中间各级的宽,由已知条件,有a1=33,a12=110,n=12,又a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,所以d=7,因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103.答:梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68cm、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.例4在等差数列{an}中,(1)已知a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20.(2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8.解:由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10.解:a3+a11=a6+a8=2a7,又a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15.32熟记性质(3)已知a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.解:a4+a5+a6+a7=56,∴a4+a7=28,①又a4a7=187②,联立①②解得a4=17,a7=11,a4=11,a7=17,或∴d=-2或2,从而a14=-3或31.1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-3a+2,则a等于()A.-1B.1C.-2D.2B2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6).提示:2.(2012•福建高考)等差数列{an}中,则数列{an}的公差为()15410,7aaaA.1B.2C.3D.4B提示:1533432=10,=52aaaaaa,,d=4.在等差数列{an}中,(1)若a59=70,a80=112,求a101;(2)若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q.d=2,a101=154d=-1,ap+q=03.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=________.提示:d=an+1-an=-4.-35(一)等差数列的基本性质1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(m,n,p,q∈N*)2.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.4.两个等差数列{an},{bn}的和、差还是等差数列,即{an±bn}也是等差数列,{pan}、{an+c}也是等差数列.(二)等差数列的证明1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.要追求真理,认识真理,更要依赖真理,这是人性中的最高品德。——培根